Question

【題目】（本題12分）從三角形（不是等腰三角形）一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的完美分割線．

（1）如圖1，在△ABC中，CD為角平分線，∠A=40°，∠B=60°，求證：CD為△ABC的完美分割線．

（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割線，且AD=CD，求∠ACB的度數(shù)．

（3）如圖2，△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形，求完美分割線CD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）96°或114°；（3）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)完美分割線的定義只要證明①△ABC不是等腰三角形，②△ACD是等腰三角形，③△BDC∽△BCA即可．

（2）分三種情形討論即可①如圖2，當(dāng)AD=CD時(shí)，②如圖3中，當(dāng)AD=AC時(shí)，③如圖4中，當(dāng)AC=CD時(shí)，分別求出∠ACB即可．

（3）設(shè)BD=x，利用△BCD∽△BAC，得，列出方程即可解決問(wèn)題．

（1）如圖1中，∵∠A=40°，∠B=60°，∴∠ACB=80°，∴△ABC不是等腰三角形，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°，∴∠ACD=∠A=40°，∴△ACD為等腰三角形，∵∠DCB=∠A=40°，∠CBD=∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割線．

（2）①當(dāng)AD=CD時(shí)，如圖2，∠ACD=∠A=45°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．

②當(dāng)AD=AC時(shí)，如圖3中，∠ACD=∠ADC=（180°-48°）÷2=66°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°．

③當(dāng)AC=CD時(shí)，如圖4中，∠ADC=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍棄，∴∠ACB=96°或114°．

（3）由已知AC=AD=2，∵△BCD∽△BAC，∴ 設(shè)BD=x，∴），∵x＞0，∴x=，∵△BCD∽△BAC，∴=，∴CD=×2=．