Question

【題目】如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC=4，AB邊上有一動(dòng)點(diǎn)P（不與A、B重合），連結(jié)DP，作PQ⊥DP，使得PQ交線段BC于點(diǎn)E，設(shè)AP=x．

（1）當(dāng)x為何值時(shí)，△APD是等腰三角形？

（2）若設(shè)BE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）若BC的長(zhǎng)a可以變化，在現(xiàn)在的條件下，是否存在點(diǎn)P，使得PQ經(jīng)過點(diǎn)C？若不存在，請(qǐng)說明理由；若存在，寫出當(dāng)BC的長(zhǎng)在什么范圍內(nèi)時(shí)，可以存在這樣的點(diǎn)P，使得PQ經(jīng)過點(diǎn)C，并求出相應(yīng)的AP的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)x為2、4、5時(shí)，△APD是等腰三角形；

（2）；

（3）

【解析】

試題分析：（1）表示出PH，然后分①當(dāng)AP=AD時(shí)，②當(dāng)AD=PD時(shí)，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，AH=PH，列式進(jìn)行計(jì)算即可得解；③當(dāng)AP=PD時(shí)，表示出PH，然后在Rt△DPH中，根據(jù)勾股定理列式進(jìn)行計(jì)算即可得解；

（2）根據(jù)同角的余角相等求出∠HDP=∠EPB，再根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似求出△DPH和△PEB相似，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式整理即可得解；

（3）根據(jù)PQ過點(diǎn)C時(shí)，BE=4，代入（2）的BE的表達(dá)式，再根據(jù)一元二次方程的解確定即可．

解：（1）過D點(diǎn)作DH⊥AB于H，則四邊形DHBC為矩形，

∴DH=BC=4，HB=CD=6，

∴AH=2，AD=2，

∵AP=x，

∴PH=x﹣2，

情況①：當(dāng)AP=AD時(shí)，即x=2，

情況②：當(dāng)AD=PD時(shí)，則AH=PH，

∴2=x﹣2，

解得x=4，

情況③：當(dāng)AP=PD時(shí)，則Rt△DPH中，x2=42+（x﹣2）2，

解得x=5，

∵2＜x＜8，

∴當(dāng)x為2、4、5時(shí)，△APD是等腰三角形；

（2）∵∠DPE=∠DHP=90°，

∴∠DPH+∠EPB=∠DPH+∠HDP=90°，

∴∠HDP=∠EPB，

又∵∠DHP=∠B=90°，

∴△DPH∽△PEB，

∴，

∴，

整理得：；

（3）存在，

由（2）得△DPH∽△PEB，

∴，

∴y=，

當(dāng)y=a時(shí)，（8﹣x）（x﹣2）=a2，即x2﹣10x+（16+a2）=0，△=100﹣4（16+a2）≥0，

即100﹣64﹣4a2≥0，

即a2≤9，

又∵a＞0，

∴0＜a≤3，

∴當(dāng)BC滿足0＜BC≤3時(shí)，存在點(diǎn)P，使得PQ經(jīng)過C，

此時(shí)，AP的長(zhǎng)為．