Question

【題目】如圖邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD被兩條與邊平行的線段EF、GH分割為四個(gè)小矩形，EF與GH交于點(diǎn)P

（1）若AG=AE，證明：AF=AH；
（2）若矩形PFCH的面積，恰矩形AGPE面積的兩倍，試確定∠HAF的大小；
（3）若矩形EPHD的面積為 ，求Rt△GBF的周長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：證明：如圖1中，連接AF、AH，

由題意知四邊形AGHD與四邊形AEFB均為矩形，

∴AG=DH，AE=BF，

∵AG=AE，

∴DH=BF，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB=AD，∠B=∠D=90°，

在Rt△ADH與Rt△ABF中，

，

∴△ABF≌△ADH，

∴AF=AH；

（2）

解：結(jié)論：∠HAF=45°．

理由：設(shè)AG=a，BG=b，AE=x，ED=y．

則 ，

∴a﹣x=y﹣b，兩邊平方得a2﹣2ax+x2=y2﹣2yb+b2，

∴得a2﹣2ax+x2=y2﹣4ax+b2，

∴（a+x）2=y2+b2，

∵y2+b2=FH2，

∴a+x=FH，

∵AG=DH=a，AE=BF=x，

∴DH+BF=FH，

延長(zhǎng)FB到M，使得BM=DH，連接AM，

∵AD=AB，∠D=∠ABM，DH=BM，

∴△ADH≌△ABM，

∴AH=AM，∠DAH=∠BAM，

∴∠MAH=∠BAD=90°，

∵AF=AF，AM=AH，F(xiàn)M=FH，

∴△AFM≌△AFH，

∴∠FAH=∠FAM=45°

（3）

解：如圖3中，連接GF，設(shè)BC=x，BF=y，則FG= ，

∴（x﹣1）（y﹣1）= ，∴xy﹣x﹣y+1= ，∴xy﹣x﹣y=﹣

∴x2+y2=x2+y2+1+2xy﹣2x﹣2y，

∴ =1﹣x﹣y，

得x+y+ =1，

∴Rt△GBF的周長(zhǎng)=1．

【解析】（1）如圖1中，連接AF、AH，由題意知四邊形AGHD與四邊形AEFB均為矩形，只要證明△ABF≌△ADH即可．（2）結(jié)論：∠HAF=45°．設(shè)AG=a，BG=b，AE=x，ED=y．由 ，推出（a+x）2=y2+b2 ， 由y2+b2=FH2 ， 推出a+x=FH，由AG=DH=a，AE=BF=x，推出DH+BF=FH，延長(zhǎng)FB到M，使得BM=DH，連接AM，只要證明△ADH≌△ABM即可解決問(wèn)題．（3）如圖3中，連接GF，設(shè)BC=x，BF=y，則FG= ，由（x﹣1）（y﹣1）= ，推出xy﹣x﹣y+1= ，推出xy﹣x﹣y=﹣ 推出x2+y2=x2+y2+1+2xy﹣2x﹣2y，推出 =1﹣x﹣y，得x+y+ =1，延長(zhǎng)即可解決問(wèn)題．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用矩形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，掌握矩形的四個(gè)角都是直角，矩形的對(duì)角線相等；正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形即可以解答此題．