【題目】若拋物線L:y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),abc≠0)與直線l都經(jīng)過y軸上的同一點(diǎn),且拋物線L的頂點(diǎn)在直線l上,則稱次拋物線L與直線l具有“一帶一路”關(guān)系,并且將直線l叫做拋物線L的“路線”,拋物線L叫做直線l的“帶線”.
(1)若“路線”l的表達(dá)式為y=2x﹣4,它的“帶線”L的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣1,求“帶線”L的表達(dá)式;
(2)如果拋物線y=mx2﹣2mx+m﹣1與直線y=nx+1具有“一帶一路”關(guān)系,求m,n的值;
(3)設(shè)(2)中的“帶線”L與它的“路線”l在y軸上的交點(diǎn)為A.已知點(diǎn)P為“帶線”L上的點(diǎn),當(dāng)以點(diǎn)P為圓心的圓與“路線”l相切于點(diǎn)A時(shí),求出點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】(1)“帶線”L的表達(dá)式為y=2x2+4x﹣4;(2)m=2,n=﹣2;(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(, ).
【解析】試題分析:
(1)由“路線l”的表達(dá)式為:y=2x-4可得,“路線l”與y軸交于點(diǎn)(0,-4);把x=-1代入y=2x-4可得y=-6,由此可得“帶線L”的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-6),結(jié)合“帶線L”過點(diǎn)(0,-4)即可求得“帶線L”的解析式;
(2)由y=mx2﹣2mx+m﹣1=m(m-1)2-1可得“帶線L”的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1),與y軸交于點(diǎn)(0,m-1),把這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=nx+1即可求得m、n的值;
(3)如圖,由(2)可知,若設(shè)“帶線L”的頂點(diǎn)為B,則點(diǎn)B坐標(biāo)為(1,﹣1),過點(diǎn)B作BC⊥y軸于點(diǎn)C,連接PA并延長交x軸于點(diǎn)D,由⊙P與“路線”l相切于點(diǎn)A可得PD⊥l于點(diǎn)A,由此證Rt△AOD≌Rt△BCA即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo),結(jié)合點(diǎn)A的坐標(biāo)即可求得AD的解析式為y=x+1,由AD的解析式和“帶線L”的解析式組成方程組,解方程組即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo).
試題解析:
((1)∵“帶線”L的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是﹣1,且它的“路線”l的表達(dá)式為y=2x﹣4
∴y=2×(﹣1)﹣4=﹣6,
∴“帶線”L的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1,﹣6).
設(shè)L的表達(dá)式為y=a(x+1)2﹣6,
∵“路線”y=2x﹣4與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,﹣4)
∴“帶線”L也經(jīng)過點(diǎn)(0,﹣4),將(0,﹣4)代入L的表達(dá)式,解得a=2
∴“帶線”L的表達(dá)式為 y=2(x+1)2﹣6=2x2+4x﹣4;
(2)∵直線y=nx+1與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),
∴拋物線y=mx2﹣2mx+m﹣1與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)也為(0,1),解得m=2,
∴拋物線表達(dá)式為y=2x2﹣4x+1,其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,﹣1)
∴直線y=nx+1經(jīng)過點(diǎn)(1,﹣1),解得n=﹣2;
(3)如圖,設(shè)“帶線L”的頂點(diǎn)為B,則點(diǎn)B坐標(biāo)為(1,﹣1),過點(diǎn)B作BC⊥y軸于點(diǎn)C,
∴∠BCA=90°,
又∵點(diǎn)A 坐標(biāo)為(0,1),
∴AO=1,BC=1,AC=2.
∵“路線”l是經(jīng)過點(diǎn)A、B的直線
且⊙P與“路線”l相切于點(diǎn)A,連接PA交 x軸于點(diǎn)D,
∴PA⊥AB,
∴∠DAB=∠AOD=90°,
∴∠ADO+∠DAO=90°,
又∵∠DAO+∠BAC=90°,
∴∠ADO=∠BAC,
∴Rt△AOD≌Rt△BCA,
∴OD=AC=2,
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣2,0)
∴經(jīng)過點(diǎn)D、A的直線表達(dá)式為y=x+1,
∵點(diǎn)P為直線y=x+1與拋物線L:y=2x2﹣4x+1的交點(diǎn),
解方程組: 得 : (即點(diǎn)A舍去), ,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
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【題目】商場(chǎng)某種新商品每件進(jìn)價(jià)是120元,在試銷期間發(fā)現(xiàn),當(dāng)每件商品售價(jià)為130元時(shí),每天可銷售70件,當(dāng)每件商品售價(jià)高于130元時(shí),每漲價(jià)1元,日銷售量就減少1件.據(jù)此規(guī)律,請(qǐng)回答:
(1)當(dāng)每件商品售價(jià)定為170元時(shí),每天可銷售多少件商品?商場(chǎng)獲得的日盈利是多少?
(2)在上述條件不變,商品銷售正常的情況下,每件商品的銷售價(jià)定為多少元時(shí),商場(chǎng)日盈利可達(dá)到1600元?
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【題目】某商場(chǎng)將每件進(jìn)價(jià)為80元的某種商品原來按每件100元出售,一天可售出100件.后來經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查,發(fā)現(xiàn)這種商品單價(jià)每降低1元,其銷量可增加10件.
(1)求商場(chǎng)經(jīng)營該商品原來一天可獲利潤多少元?
(2)設(shè)后來該商品每件降價(jià)x元,,商場(chǎng)一天可獲利潤y元.
①若商場(chǎng)經(jīng)營該商品一天要獲利潤2160元,則每件商品應(yīng)降價(jià)多少元?
②求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,結(jié)合題意寫出當(dāng)x取何值時(shí),商場(chǎng)獲利潤不少于2160元?
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【題目】為了加強(qiáng)公民的節(jié)水意識(shí),合理利用水資源,各地采用價(jià)格調(diào)控等手段引導(dǎo)市民節(jié)約用水。某市規(guī)定如下用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn):每月每戶的用水不超過6時(shí),水費(fèi)按正常收費(fèi);超過6時(shí),超過的部分收較高水費(fèi)。該市某戶居民今年2月份的用水量為9,繳納水費(fèi)為27元;3月份的用水量為11,繳納水費(fèi)為37元。
(1)求在限定量以內(nèi)每噸多少元?超出部分的水費(fèi)每噸多少元?
(2)若該市某居民今年4月份的用水量為13. 則應(yīng)繳納水費(fèi)多少元?
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【題目】我們知道,任意一個(gè)正整數(shù)n都可以進(jìn)行這樣的分解:(p,q是正整數(shù),且),在n的所有這種分解中,如果p,q兩因數(shù)之差的絕對(duì)值最小,我們就稱p×q是n的完美分解.并規(guī)定:.
例如18可以分解成1×18,2×9或3×6,因?yàn)?/span>18-1>9-2>6-3,所以3×6是18的完美分解,所以F(18)=.
(1)F(13)= ,F(24)= ;
(2)如果一個(gè)兩位正整數(shù)t,其個(gè)位數(shù)字是a,十位數(shù)字為,交換其個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)減去原來的兩位正整數(shù)所得的差為36,那么我們稱這個(gè)數(shù)為“和諧數(shù)”,求所有“和諧數(shù)”;
(3)在(2)所得“和諧數(shù)”中,求F(t)的最大值.
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【題目】完成一項(xiàng)工作,如果安排兩個(gè)人合做,要天才能完成.開始先安排一些人做天后,又增加人和他們一起做天,結(jié)果完成了這項(xiàng)工作的一半,假設(shè)這些人的工作效率相同.
(1)開始安排了多少名工人?
(2)如果要求再用天做完剩余的全部工作,還需要再增加幾人一起做?
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【題目】下列說法:①若a,b互為相反數(shù),則=-1;②若a+b<0,ab>0,則|a+2b|=-a-2b;③若多項(xiàng)式ax3+bx+1的值為5,則多項(xiàng)式-ax3-bx+1的值為-3;④若甲班有50名學(xué)生,平均分是a分,乙班有40名學(xué)生,平均分是b分,則兩班的平均分為分.其中正確的為____(填序號(hào)).
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【題目】觀察下列等式:
第1個(gè)等式:a1=,
第2個(gè)等式:a2=,
第3個(gè)等式:a3=,
…
請(qǐng)解答下列問題:
(1)按以上規(guī)律列出第5個(gè)等式:a5= = ;
(2)用含有n的代數(shù)式表示第n個(gè)等式:an= = (n為正整數(shù));
(3)求a1+a2+a3+…+a2019的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】平移和翻折是初中數(shù)學(xué)兩種重要的圖形變化.
(1)平移運(yùn)動(dòng)
①把筆尖放在數(shù)軸的原點(diǎn)處,先向負(fù)方向移動(dòng)3個(gè)單位長度,再向正方向移動(dòng)個(gè)單位長度,這時(shí)筆尖的位置表示什么數(shù)?用算式表示以上過程及結(jié)果是( )
A. B.
C. D.
②一機(jī)器人從原點(diǎn)O開始,第1次向左跳1個(gè)單位,緊接著第2次向右跳2個(gè)單位,第3次向左跳3個(gè)單位,第4次向右跳4個(gè)單位,……,依次規(guī)律跳,當(dāng)它跳2019次時(shí),落在數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)是_____.
(2)翻折變換
①若折疊紙條,表示-1的點(diǎn)與表示3的點(diǎn)重合,則表示2019的點(diǎn)與表示_______的點(diǎn)重合.
②若數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離為2019(A在B的左側(cè),且折痕與①折痕相同),且A、B兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合,則A點(diǎn)表示_____B點(diǎn)表示______.
③若數(shù)軸上折疊重合的兩點(diǎn)的數(shù)分別為a,b,折疊中間點(diǎn)表示的數(shù)為____.(用含有a,b的式子表示)
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