Question

【題目】如圖，將銳角為的直角三角板MPN的一個(gè)銳角頂點(diǎn)P與邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD的頂點(diǎn)A重合，正方形ABCD固定不動(dòng)，然后將三角板繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，的兩邊分別與正方形的邊BC、DC或其延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E、F，連結(jié)EF．在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)的一邊恰好經(jīng)過(guò)BC邊的中點(diǎn)時(shí)，則EF的長(zhǎng)為_____．

Answer 1

【答案】或

【解析】

①當(dāng)MA經(jīng)過(guò)BC的中點(diǎn)E時(shí)，延長(zhǎng)FD至G，使DG＝BE，連接AG，先證△ABE≌△ADG，再證△GAF≌△EAF，利用勾股定理列出方程即可；②NA經(jīng)過(guò)BC的中點(diǎn)H時(shí)，在CD上截取DQ=BE，連接AQ，同理證明△ABE≌△ADQ（SAS），再證明△QAF≌△EAF（SAS）和△ABH≌△FCH（ASA），根據(jù)勾股定理列出方程即可解決問(wèn)題．

解：①當(dāng)MA經(jīng)過(guò)BC的中點(diǎn)E時(shí)，延長(zhǎng)FD至G，使DG＝BE，連接AG，如下圖所示，

∵ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADG＝∠DAB＝90°，

又∵BE=DG，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠DAG＝∠EAB，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAF＋∠EAB＝45°，
∴∠DAF＋∠DAG＝45°，
∴∠GAF＝∠EAF＝45°，
∵AF＝AF，
∴△GAF≌△EAF，
∴EF＝GF，
∴GF＝DF＋DG＝DF＋BE，
∴EF＝DF＋BE．

∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，

∴BE=CE=2，

設(shè)FD＝x，則FG＝EF＝2＋x，FC＝4x．
在Rt△EFC中，（x＋2）2＝（4x）2＋22，
∴x＝，
∴EF＝x＋2＝．
②當(dāng)NA經(jīng)過(guò)BC的中點(diǎn)H時(shí)，在CD上截取DQ=BE，連接AQ，如下圖所示，

由情況①可知，△ABE≌△ADQ（SAS），
∴AE＝AQ，∠DAQ＝∠EAB，

∴∠DAQ+∠BAQ=∠EAB+∠BAQ=90°，
∵∠EAF＝45°，

∴∠QAF＝∠EAF＝45°，
∵AF＝AF，
∴△QAF≌△EAF（SAS），
∴EF＝QF，

又∵點(diǎn)H是BC的中點(diǎn)，

∴BH=CH，

∵∠ABH=∠FCH，∠BHA=∠CHF，

∴△ABH≌△FCH（ASA），

∴CF=AB=4，

設(shè)BE＝DQ=x，則EC＝4＋x，EF=QF＝8x，

∵CH＝BH＝2，CF＝AB＝4，
由勾股定理得到：（4＋x）2＋42＝（8x）2，
∴x＝，
∴EF＝8=
綜上所述，EF的長(zhǎng)為或，

故答案為：或．