【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=﹣6x+4的頂點(diǎn)A在直線y=kx﹣2上.
(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)現(xiàn)將拋物線沿該直線方向進(jìn)行平移,平移后的拋物線的頂點(diǎn)為A′,與直線的另一交點(diǎn)為B′,與x軸的右交點(diǎn)為C(點(diǎn)C不與點(diǎn)A′重合),連接B′C、A′C.
。┤鐖D,在平移過(guò)程中,當(dāng)點(diǎn)B′在第四象限且△A′B′C的面積為60時(shí),求平移的距離AA′的長(zhǎng);
ⅱ)在平移過(guò)程中,當(dāng)△A′B′C是以A′B′為一條直角邊的直角三角形時(shí),求出所有滿足條件的點(diǎn)A′的坐標(biāo).
【答案】(1)y=﹣2x﹣2;(2)。2;ⅱ)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(,﹣)或(﹣,﹣)
【解析】
(1)利用配方法將拋物線表達(dá)式變形為頂點(diǎn)式,由此可得出點(diǎn)A的坐標(biāo),根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可求出直線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)設(shè)點(diǎn)A'的坐標(biāo)為(m,﹣2m﹣2),則平移后拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y(x﹣m)2﹣2m﹣2,利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征結(jié)合點(diǎn)C在x軸上且點(diǎn)C不與點(diǎn)A'重合,可得出m>﹣1.
i)聯(lián)立直線和拋物線的表達(dá)式成方程組,通過(guò)解方程組可求出點(diǎn)B'的坐標(biāo),利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)C的坐標(biāo),過(guò)點(diǎn)C作CD∥y軸,交直線A'B'于點(diǎn)D,由點(diǎn)C的坐標(biāo)可得出點(diǎn)D的坐標(biāo),利用S△A'B'C=S△B'CD﹣S△A'CD=60,即可得出關(guān)于t的方程,利用換元法解方程組即可得出m的值,進(jìn)而可得出點(diǎn)A'的坐標(biāo),再由點(diǎn)A的坐標(biāo)利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求出結(jié)論;
ii)根據(jù)點(diǎn)A'、B'、C的坐標(biāo),可得出A'B'、A'C、B'C的長(zhǎng)度,分∠A'B'C=90°及∠B'A'C=90°兩種情況,利用勾股定理可得出關(guān)于m的方程,利用換元法解方程即可求出m的值,進(jìn)而可得出點(diǎn)A'的坐標(biāo),此題得解.
(1)∵y6x+4(x﹣6)2﹣14,∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(6,﹣14).
∵點(diǎn)A在直線y=kx﹣2上,∴﹣14=6k﹣2,解得:k=﹣2,∴直線的函數(shù)表達(dá)式為y=﹣2x﹣2.
(2)設(shè)點(diǎn)A'的坐標(biāo)為(m,﹣2m﹣2),則平移后拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y(x﹣m)2﹣2m﹣2.
當(dāng)y=0時(shí),有﹣2x﹣2=0,解得:x=﹣1.
∵平移后的拋物線與x軸的右交點(diǎn)為C(點(diǎn)C不與點(diǎn)A'重合),∴m>﹣1.
i)聯(lián)立直線與拋物線的表達(dá)式成方程組,,解得:,∴點(diǎn)B'的坐標(biāo)為(m﹣4,﹣2m+6).
當(dāng)y=0時(shí),有(x﹣m)2﹣2m﹣2=0,解得:x1=m﹣2,x2=m+2,∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(m+2,0).
過(guò)點(diǎn)C作CD∥y軸,交直線A'B'于點(diǎn)D,如圖所示.
當(dāng)x=m+2時(shí),y=﹣2x﹣2=﹣2m﹣42,∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m+2,﹣2m﹣42),∴CD=2m+2+4,∴S△A'B'C=S△B'CD﹣S△A'CDCD[m+2(m﹣4)]CD(m+2m)=2CD=2(2m+2+4)=60.
設(shè)t,則有t2+2t﹣15=0,解得:t1=﹣5(舍去),t2=3,∴m=8,∴點(diǎn)A'的坐標(biāo)為(8,﹣18),∴AA'.
ii)∵A'(m,﹣2m﹣2),B'(m﹣4,﹣2m+6),C(m+2,0),∴A'B'2=(m﹣4﹣m)2+[﹣2m+6﹣(﹣2m﹣2)]2=80,A'C2=(m+2m)2+[0﹣(﹣2m﹣2)]2=4m2+12m+8,B'C2=[m+2(m﹣4)]2+[0﹣(﹣2m+6)]2=4m2﹣20m+56+16.
當(dāng)∠A'B'C=90°時(shí),有A'C2=A'B'2+B'C2,即4m2+12m+8=80+4m2﹣20m+56+16,整理得:32m﹣128﹣160.
設(shè)a,則有2a2﹣a﹣10=0,解得:a1=﹣2(舍去),a2,∴m,∴點(diǎn)A'的坐標(biāo)為();
當(dāng)∠B'A'C=90°時(shí),有B'C2=A'B'2+A'C2,即4m2﹣20m+56+1680+4m2+12m+8,整理得:32m+32﹣160.
設(shè)a,則有2a2﹣a=0,解得:a3=0(舍去),a4,∴m,∴點(diǎn)A'的坐標(biāo)為().
綜上所述:在平移過(guò)程中,當(dāng)△A'B'C是以A'B'為一條直角邊的直角三角形時(shí),點(diǎn)A'的坐標(biāo)為()或().
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】知關(guān)于x的方程x2+2(a-1)x+a2-7a-4=0的根為x1,x2,且滿足x1x2-3x1-3x2-2=0,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)中,直線l經(jīng)過(guò)原點(diǎn),且與y軸正半軸所夾的銳角為60°,過(guò)點(diǎn)A(0,1)作y軸的垂線l于點(diǎn)B,過(guò)點(diǎn)B1作作直線l的垂線交y軸于點(diǎn)A1,以A1B.BA為鄰邊作ABA1C1;過(guò)點(diǎn)A1作y軸的垂線交直線l于點(diǎn)B1,過(guò)點(diǎn)B1作直線l的垂線交y軸于點(diǎn)A2,以A2B1.B1A1為鄰邊作A1B1A2C2;…;按此作法繼續(xù)下去,則Cn的坐標(biāo)是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,以AC為直徑作⊙O,交AB于D,過(guò)點(diǎn)O作OE∥AB,交BC于E.
(1)求證:ED為⊙O的切線;
(2)如果⊙O的半徑為,ED=2,延長(zhǎng)EO交⊙O于F,連接DF、AF,求△ADF的面積.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)
【解析】試題分析:(1)首先連接OD,由OE∥AB,根據(jù)平行線與等腰三角形的性質(zhì),易證得≌ 即可得,則可證得為的切線;
(2)連接CD,根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角,即可得 利用勾股定理即可求得的長(zhǎng),又由OE∥AB,證得根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例,即可求得的長(zhǎng),然后利用三角函數(shù)的知識(shí),求得與的長(zhǎng),然后利用S△ADF=S梯形ABEF-S梯形DBEF求得答案.
試題解析:(1)證明:連接OD,
∵OE∥AB,
∴∠COE=∠CAD,∠EOD=∠ODA,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠COE=∠DOE,
在△COE和△DOE中,
∴△COE≌△DOE(SAS),
∴ED⊥OD,
∴ED是的切線;
(2)連接CD,交OE于M,
在Rt△ODE中,
∵OD=32,DE=2,
∵OE∥AB,
∴△COE∽△CAB,
∴AB=5,
∵AC是直徑,
∵EF∥AB,
∴S△ADF=S梯形ABEFS梯形DBEF
∴△ADF的面積為
【題型】解答題
【結(jié)束】
25
【題目】【題目】已知,拋物線y=ax2+ax+b(a≠0)與直線y=2x+m有一個(gè)公共點(diǎn)M(1,0),且a<b.
(1)求b與a的關(guān)系式和拋物線的頂點(diǎn)D坐標(biāo)(用a的代數(shù)式表示);
(2)直線與拋物線的另外一個(gè)交點(diǎn)記為N,求△DMN的面積與a的關(guān)系式;
(3)a=﹣1時(shí),直線y=﹣2x與拋物線在第二象限交于點(diǎn)G,點(diǎn)G、H關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,現(xiàn)將線段GH沿y軸向上平移t個(gè)單位(t>0),若線段GH與拋物線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),試求t的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=4,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,現(xiàn)將一個(gè)直角三角板OEF的直角頂點(diǎn)與O重合,再繞著O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)三角板,并過(guò)點(diǎn)D作DH⊥OF于點(diǎn)H,連接AH.在轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中,AH的最小值為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠C=90°,AC=BC=2,取BC邊中點(diǎn)E,作ED∥AB,EF∥AC,得到四邊形EDAF,它的面積記作S1;取BE中點(diǎn)E1,作E1D1∥FB,E1F1∥EF,得到四邊形E1D1FF1,它的面積記作S2.照此規(guī)律作下去,則S2017=____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形 OABC 的頂點(diǎn) O 在坐標(biāo)原點(diǎn),頂點(diǎn) A,C 分別在 x,y 軸的正半軸上,頂點(diǎn) B 在反比例函數(shù) y (k 為常數(shù),k>0,x>0)的圖象上,將矩形 OABC 繞點(diǎn) B 逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 90°得到矩形 BCOA ,點(diǎn) O 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)O 恰好落在此反比例函數(shù)圖象上.延長(zhǎng) AO ,交 x軸于點(diǎn) D,若四邊形CADO 的面積為 2,則 k 的值為( )
A. +1B. -1C. 2 +2D. 2 -2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小王是“新星廠”的一名工人,請(qǐng)你閱讀下列信息:
信息一:工人工作時(shí)間:每天上午8:00—12:00,下午14:00—18:00,每月工作25天;
信息二:小王生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的件數(shù)與所用時(shí)間的關(guān)系見(jiàn)下表:
生產(chǎn)甲種產(chǎn)品數(shù)(件) | 生產(chǎn)乙種產(chǎn)品數(shù)(件) | 所用時(shí)間(分鐘) |
10 | 10 | 350 |
30 | 20 | 850 |
信息三:按件計(jì)酬,每生產(chǎn)一件甲種產(chǎn)品得1.50元,每生產(chǎn)一件乙種產(chǎn)品得2.80元;
信息四:該廠工人每月收入由底薪和計(jì)酬工資兩部分構(gòu)成,小王每月的底薪為1900元.請(qǐng)根據(jù)以上信息,解答下列問(wèn)題:
(1)小王每生產(chǎn)一件甲種產(chǎn)品和一件乙種產(chǎn)品分別需要多少分鐘;
(2)2018年1月工廠要求小王生產(chǎn)甲種產(chǎn)品的件數(shù)不少于60件,則小王該月收入最多是多少元?此時(shí)小王生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品分別是多少件?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB是圓O的直徑,點(diǎn)C、D在圓O上,且AD平分∠CAB.過(guò)點(diǎn)D作AC的垂線,與AC的延長(zhǎng)線相交于E,與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F.
求證:EF與圓O相切.
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