Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接、．

（1）點(diǎn)是直線下方拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，為軸上一動(dòng)點(diǎn)，為軸上一動(dòng)點(diǎn)，記的最小值為，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)及；

（2）在（1）的條件下，連接交軸于點(diǎn)，將拋物線沿射線平移，平移后的拋物線記為，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，將拋物線位于軸下方部分沿軸翻折，翻折后所得的曲線記為，點(diǎn)為曲線的頂點(diǎn)，將沿直線平移，得到，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形為菱形．若存在，請(qǐng)直接寫出的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）當(dāng)或時(shí)，存在點(diǎn)，使以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形為菱形．

【解析】

（1）如圖1中，設(shè)，作PF∥y軸交BC于點(diǎn)F．構(gòu)建二次函數(shù)求出點(diǎn)P坐標(biāo)，如圖2中，在y軸的正半軸上取一點(diǎn)G，連接BG，使得∠GBO=30°，作點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)H，作HF⊥BG交y軸于M，交x軸于N．由FN=BN，推出PM+MN+BN=HM+MN+NF，根據(jù)垂線段最短可知，此時(shí)PM+MN+BN的值最短，求出H，F的坐標(biāo)即可解決問題．
（2）想辦法求出R，D′的坐標(biāo)，分兩種情形分別構(gòu)建方程解決問題即可．

（1）如圖1中，設(shè)，作軸交于點(diǎn)．

圖1

由題意，，，

直線的解析式為，

，

，

，

，

時(shí)，的面積最大，此時(shí)，

如圖2中，在軸的正半軸上取一點(diǎn)，連接，使得，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，作交軸于，交軸于．

圖2

，

，根據(jù)垂線段最短可知，此時(shí)的值最短．

直線的解析式為，，，

直線的解析式為，

由，解得，

，

．

（2）如圖3中，

圖3

由題意直線的解析式為，

，

，

直線的解析式為，設(shè)，

原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，平移后拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，此時(shí)頂點(diǎn)，翻折后的頂點(diǎn)，

，

由題意可知當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)，使以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，

，

解得，

當(dāng)點(diǎn)在線段的垂直平分線上時(shí)，存在點(diǎn)，使以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，則有： ，

．

綜上所述，當(dāng)或時(shí)，存在點(diǎn)，使以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形為菱形．