Question

如圖，⊙O是邊長為6的等邊△ABC的外接圓，點D在弧BC上運動（不與B，C重合），過點D作DE∥BC，DE交AC的延長線于點E，連接AD，CD．
（1）在圖1中，當AD=2，求AE的長；
（2）當點D為的中點時：
①DE與⊙O的位置關(guān)系是______；
②求△ADC的內(nèi)切圓半徑r．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于DE∥BC，那么∠E=∠ACB=60°；由圓周角定理易得∠ADC=∠B=60°，則∠ADC=∠E，即可證得△ADC∽△AED，根據(jù)相似三角形得到的比例線段即可求出AE的長；
（2）①當D為弧BC中點時，AD平分∠BAC，根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)知AD垂直平分BC，因此AD必過圓心O，且AD⊥DE，由此可證得DE是⊙O的切線；
②作出內(nèi)切圓，連接內(nèi)心和三個切點，根據(jù)切線長定理將內(nèi)切圓半徑轉(zhuǎn)化為直角三角形ADC三邊之間的關(guān)系，然后求解．
解答：解：（1）如圖，△ABC為等邊三角形，
∴∠ACB=∠B=60°，
又DE∥BC，
∴∠E=∠ACB；
又∠DAC=∠EAD，
∴△ADC∽△AED，
∴=，又AD=2，
∴AE===（或6）．

（2）①∵D是的中點，
∴AD平分∠BAC；
∵△ABC是等邊三角形，
∴AD垂直平分BC，即AD是⊙O的直徑；
∵DE∥BC，
∴AD⊥DE，
∴DE與⊙O相切；
②如圖2，當D為的中點時，則=，
∴∠BAD=∠DAC=30°，又AB=AC
∴AD垂直平分BC．
AD為⊙O的直徑，
∴∠ACD=90°
在Rt△ACD中，∠DAC=30°，AC=6，
∴DC=6•tan30°=6×=2
∴AD=2DC=4；
作Rt△ADC的內(nèi)切圓⊙O′，
分別切AD、AC、DC于F、G、H點，易知CG=CH=r，
∴AG=AF=6-r，DH=DF=2-r；
∵AF+DF=AD，
∴6-r+2-r=4．
-2r=-6+2，
∴r=3-．
點評：此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、切線的判定以及直角三角形內(nèi)切圓半徑的求法等知識．