Question

7．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，當(dāng)△DCE旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE，易證△BCE≌△ACD．則
①∠BEC=120°；②線段AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系是AD=BE．
（2）拓展研究：
如圖2，△ACB和△DCE均為等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，若AE=15，DE=7，求AB的長度．
（3）探究發(fā)現(xiàn)：
如圖3，P為等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠APC=150°，且∠APD=30°，AP=5，CP=4，DP=8，求BD的長．

Answer 1

分析 （1）由條件易證△ACD≌△BCE，從而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由點(diǎn)A，D，E在同一直線上可求出∠ADC，從而可以求出∠BEC的度數(shù)．
（2）同（1）證出△ACD≌△BCE，得出AD=BE=AE-DE=8，∠ADC=∠BEC，求出∠BEC=135°，得出∠AEB=∠BEC-∠CED=90°．由勾股定理求出AB即可；
（3）把△APC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△BEC，連接PE，則△BEC≌△APC，得出CE=CP，∠PCE=60°，BE=AP=5，∠BEC=∠APC=150°，證出△PCE是等邊三角形，得出∠EPC=∠PEC=60°，PE=CP=4，求出∠BED=∠BEC-∠PEC=90°，證明D、P、E在同一條直線上，得出DE=DP+PE=12，再由勾股定理求出BD即可．

解答 解：（1）①∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}&{\;}\\{∠ACD=∠BCE}&{\;}\\{CD=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴∠ADC=∠BEC．
∵△DCE為等邊三角形，
∴∠CDE=∠CED=60°．
∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，
∴∠ADC=120°．
∴∠BEC=120°．
故答案為：120．
②由①得：△ACD≌△BCE，
∴AD=BE；
故答案為：AD=BE．
（2）∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}&{\;}\\{∠ACD=∠BCE}&{\;}\\{CD=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴AD=BE=AE-DE=15-7=8，∠ADC=∠BEC，
∵△DCE為等腰直角三角形
∴∠CDE=∠CED=45°．
∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，
∴∠ADC=135°．
∴∠BEC=135°．
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°．
∴AB=$\sqrt{A{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{1{5}^{2}+{8}^{2}}$=17；
（3）把△APC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△BEC，連接PE，如圖所示：
則△BEC≌△APC，
∴CE=CP，∠PCE=60°，BE=AP=5，∠BEC=∠APC=150°，
∴△PCE是等邊三角形，
∴∠EPC=∠PEC=60°，PE=CP=4，
∴∠BED=∠BEC-∠PEC=90°，
∵∠APD=30°，
∴∠DPC=150°-30°=120°，
又∵∠DPE=∠DPC+∠EPC=120°+60°=180°，
即D、P、E在同一條直線上，
∴DE=DP+PE=8+4=12，
在Rt△BDE中，$BD=\sqrt{D{E^2}+B{E^2}}=\sqrt{{{12}^2}+{5^2}}=13$，
即BD的長為13．

點(diǎn)評(píng) 本題是三角形綜合題目，考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．