【題目】如圖,正方形ABCD中,已知AB=3,點E,F(xiàn)分別在BC、CD上,且∠BAE=30°,∠DAF=15°,則△AEF的面積為_____.
【答案】9-3
【解析】如圖,把△ADF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABM.則AM=AF,∠FAD=∠MAB=15°,再證得△EAF≌EAM,所以ME=EF,設FE=a,在Rt△ABE中, BE=,DF=a﹣,CF=3﹣(a﹣),根據(jù)勾股定理可得∴a2=(3﹣)2+[3﹣(a﹣)]2,解方程求得a的值,即可得△AEF的面積.
如圖,把△ADF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABM.則AM=AF,∠FAD=∠MAB=15°,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=AD=BC=CD,∠D=∠ABC=∠ABM=90°,
∵∠BAE=30°,∠DAF=15°,
∴∠EAF=45°,∠MAE=∠MAB+∠BAE=45°=∠EAF,
在△EAF和△EAM中,
,
∴△EAF≌EAM,
∴ME=EF,
∵ME=BM+BE=BE+DF,設FE=a,
在Rt△ABE中,∵∠ABE=90°,AB=3,∠BAE=30°,
∴BE=,DF=a﹣,CF=3﹣(a﹣),
∵EF2=EC2+CF2,
∴a2=(3﹣)2+[3﹣(a﹣)]2,
∴a=6﹣2,
∴S△AEF=S△AME=EMAB=(6﹣2)×3=9﹣3.
故答案為9﹣3.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,直線a∥b,頂點C在直線b上,直線a交AB于點D,交AC于點E,若∠1=145°,則∠2的度數(shù)是( )
A.30°B.35°C.40°D.45°
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A、B兩點,交y軸于點C(0,﹣),OA=1,OB=4,直線l過點A,交y軸于點D,交拋物線于點E,且滿足tan∠OAD=.
(1)求拋物線的解析式;
(2)動點P從點B出發(fā),沿x軸正方形以每秒2個單位長度的速度向點A運動,動點Q從點A出發(fā),沿射線AE以每秒1個單位長度的速度向點E運動,當點P運動到點A時,點Q也停止運動,設運動時間為t秒.
①在P、Q的運動過程中,是否存在某一時刻t,使得△ADC與△PQA相似,若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由.
②在P、Q的運動過程中,是否存在某一時刻t,使得△APQ與△CAQ的面積之和最大?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】一艘觀光游船從港口A以北偏東60°的方向出港觀光,航行80海里至C處時發(fā)生了側翻沉船事故,立即發(fā)出了求救信號,一艘在港口正東方向的海警船接到求救信號,測得事故船在它的北偏東37°方向,馬上以40海里每小時的速度前往救援,
(1)求點C到直線AB的距離;
(2)求海警船到達事故船C處所需的大約時間.(溫馨提示:sin53°≈0.8,cos53°≈0.6)
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【題目】已知:如圖,在的內(nèi)部,點、分別在射線、上,且,,,分別交、于點、.
(1)如圖①所示,若,,延長至點,使得,請證明EF=CE+DF;
(2)如圖②所示,若∠AOB=α,.求的度數(shù).
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【題目】已知:如圖,∠1=∠2.求證:∠3 +∠4=180°.
證明:∵∠1=∠2(已知)
∴ a∥b( )
∴∠3 +∠5=180° (兩直線平行,同旁內(nèi)角互補)
又 ∵∠4=∠5 ( )
∴∠3 +∠4=180° (等量代換)
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【題目】如圖,△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=5,BC=12,點O為∠ABC與∠CAB平分線的交點,則點O到邊AB的距離為______.
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【題目】已知海島A的周圍6km的范圍內(nèi)有暗礁,一艘海輪在B處測得海島A在北偏東30°的方向;向正北方向航行6km到達C處,又測得該島在北偏東60°的方向,如果海輪不改變航向,繼續(xù)向正北航行,有沒有觸礁的危險?
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【題目】如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,∠BAD=90°,點E在BC的延長線上,且∠DEC=∠BAC.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)若AC∥DE,當AB=8,CE=2時,求AC的長.
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