【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線的頂點(diǎn)是A(13),將OA繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到OB,點(diǎn)B恰好在拋物線上,OB與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)C

1)求拋物線的解析式;

2P是線段AC上一動(dòng)點(diǎn),且不與點(diǎn)A,C重合,過(guò)點(diǎn)P作平行于x軸的直線,與的邊分別交于M,N兩點(diǎn),將以直線MN為對(duì)稱(chēng)軸翻折,得到

設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m

①當(dāng)內(nèi)部時(shí),求m的取值范圍;

②是否存在點(diǎn)P,使,若存在,求出滿(mǎn)足m的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】;(2)①;②存在,滿(mǎn)足m的值為

【解析】

1)作ADy軸于點(diǎn)D,作BEx軸于點(diǎn)E,然后證明△AOD≌△BOE,則AD=BEOD=OE,即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法,即可求出解析式;

2)①由點(diǎn)P為線段AC上的動(dòng)點(diǎn),則討論動(dòng)點(diǎn)的位置是解題的突破口,有點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí);點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí),兩種情況進(jìn)行分析計(jì)算,即可得到答案;

②根據(jù)題意,可分為兩種情況進(jìn)行當(dāng)點(diǎn)M在線段OA上,點(diǎn)NAB上時(shí);當(dāng)點(diǎn)M在線段OB上,點(diǎn)NAB上時(shí);先求出直線OA和直線AB的解析式,然后利用m的式子表示出兩個(gè)三角形的面積,根據(jù)等量關(guān)系列出方程,解方程即可求出m的值.

解:(1)如圖:作ADy軸于點(diǎn)D,作BEx軸于點(diǎn)E

∴∠ADO=BEO=90°,

∵將OA繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到OB,

OA=OB,∠AOB=90°,

∴∠AOD+AOE=BOE+AOE=90°,

∴∠AOD=BOE

∴△AOD≌△BOE,

AD=BEOD=OE,

∵頂點(diǎn)A為(1,3),

AD=BE=1,OD=OE=3

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,),

設(shè)拋物線的解析式為,

把點(diǎn)B代入,得

,

,

∴拋物線的解析式為

;

2)①∵P是線段AC上一動(dòng)點(diǎn),

∵當(dāng)內(nèi)部時(shí),

當(dāng)點(diǎn)恰好與點(diǎn)C重合時(shí),如圖:

∵點(diǎn)B為(3,),

∴直線OB的解析式為,

,則,

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,),

AC=,

PAC的中點(diǎn),

AP=,

,

m的取值范圍是;

②當(dāng)點(diǎn)M在線段OA上,點(diǎn)NAB上時(shí),如圖:

∵點(diǎn)P在線段AC上,則點(diǎn)P為(1,m),

∵點(diǎn)與點(diǎn)A關(guān)于MN對(duì)稱(chēng),則點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2m3),

,,

設(shè)直接OA,直線AB,

分別把點(diǎn)A,點(diǎn)B代入計(jì)算,得

直接OA;直線AB,

則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為,點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為

;

;

;

又∵

,

解得:(舍去);

當(dāng)點(diǎn)M在邊OB上,點(diǎn)N在邊AB上時(shí),如圖:

代入,則,

,,

,

,

解得:(舍去);

綜合上述,m的值為:

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)根據(jù)對(duì)上述式子的觀察,你會(huì)發(fā)現(xiàn).=·請(qǐng)將問(wèn)題中的空格補(bǔ)充完整.

2)進(jìn)一步思考,單位分?jǐn)?shù)n是不小于2的正整數(shù)),請(qǐng)寫(xiě)出■和●所表示的代數(shù)式,并對(duì)你的結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證.

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(1)如圖1,求的值;

(2)如圖,是第一象限拋物線上的點(diǎn),連,過(guò)點(diǎn)軸,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),連接于點(diǎn),若,求點(diǎn)的坐標(biāo)以及的值;

(3)如圖3,在(2)的條件下,連接是第一象限拋物線上的點(diǎn)(點(diǎn)與點(diǎn)不重合),過(guò)點(diǎn)的垂線,交軸于點(diǎn),點(diǎn)軸上(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)),,點(diǎn)在直線上,連接、.若,,求點(diǎn)的坐標(biāo).

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1)求拋物線的解析式.

2)在y軸上找一點(diǎn)E,使得△EAC為等腰三角形,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo).

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