Question

如圖，拋物線的頂點(diǎn)為D，與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，且OB = 2OC= 3．

   （1）求a，b的值；

   （2）將45°角的頂點(diǎn)P在線段OB上滑動(dòng)(不與點(diǎn)B重合)，該角的一邊過(guò)點(diǎn)D，另一邊與BD交于點(diǎn)Q，設(shè)P（x，0），y₂=DQ，試求出y₂關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在同一平面直角坐標(biāo)系中，兩條直線x = m，x = m+分別與拋物線y₁交于點(diǎn)E，G，與y₂的函數(shù)圖象交于點(diǎn)F，H．問(wèn)點(diǎn)E、F、H、G圍成四邊形的面積能否為？若能，求出m的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．       

 

Answer 1

解：（1）∵拋物線y₁=ax²-2ax+b經(jīng)過(guò)B(3，0)，C(0，)兩點(diǎn)，

∴，∴

∴拋物線的解析式為y₁= -x²+x+．           ---------4分

（2）作DN^AB，垂足為N．（如下圖1）

由y₁= -x²+x+易得D(1，2)

   N(1，0)，A(-1，0)，B(3，0)，∴AB=4，DN=BN=2，DB=2，

   ÐDBN=45°．根據(jù)勾股定理有BD ²-BN ²=PD ²-PN ²．

   ∴(2)²-2²=PD²-(1-x)²-----j

又ÐMPQ=45°=ÐMBP，

   ∴△MPQ ～ △MBP，∴PD²=DQ´DB=y₂´2------k．

   由j、k得y₂=x²-x+．∵0≤x＜3，

∴y₂與x的函數(shù)關(guān)系式為y₂=x²-x+=(0≤x≤3)．--------4分

（自變量取值范圍沒(méi)寫，不扣分）

 

（3）假設(shè)E、F、H、G圍成四邊形的面積能為  （如圖2）

∵點(diǎn)E、G是拋物線y₁= -x²+x+= 分別與直線x=m，x= m+的交點(diǎn)

∴點(diǎn)E、G坐標(biāo)為 E(m，)，G(m+，)．

同理，點(diǎn)F、H坐標(biāo) 為F(m，)，H(m+，)．

 ∴EF=-［］=

GH=)-［］=．

  ∵四邊形EFHG是平行四邊形或梯形，

∴S=［+］×=

化簡(jiǎn)得

解得m=或（都在0≤x≤3內(nèi)）

所以，當(dāng)m=或時(shí)，E、F、H、G圍成四邊形的面積為.