Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=﹣x+4與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上，并且OC=OB，一動(dòng)點(diǎn)P在射線AB上運(yùn)動(dòng)，連結(jié)CP交y軸于點(diǎn)D，連結(jié)BD．過B，P，D三點(diǎn)作圓，交y軸與點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF∥x軸，交圓于點(diǎn)F，連結(jié)BF，DF．

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

（2）若動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，

①求證∠EDB=∠ADP；

②設(shè)AP=n，CP=m，求當(dāng)n為何值時(shí)，m的值最�。孔钚≈凳嵌嗌�？

（3）試探究：點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)△BDF為直角三角形，并且兩條直角邊之比為2：1時(shí)，請直接寫出OD的長　 　．

Answer 1

       解：（1）令x=0，則y=4，

∴A（0，4），

令y=0，則﹣+4=0，x=3，

∴B（3，0），

又∵OC=OB=3，且點(diǎn)C在負(fù)半軸上，

∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣3，0）；

（2）①在△DOC與△DOB中，

，

∴△DOC≌△DOB（SAS），

∴∠CDO=∠BDO，

又∵∠CDO=∠ADP，

∴∠BDO=ADP，

即∠BDE=∠ADP；

②要使CP的長最短，則需CP⊥AB，

∴∠CPB=90°，

∵∠CBP=∠ABO，

∠AOB=∠CPB=90°，

∴Rt△BPC∽Rt△BOA，

∴，

∴==，

解得：n=，m=，

即n=時(shí)，m有最小值，最小值為；

（3）①當(dāng)BD：BF=2：1時(shí)，

如圖1，過點(diǎn)F作FH⊥OB于點(diǎn)H，

∵∠DBO+∠OBF=90°，∠OBF+∠BFH=90°，

∴∠DBO=∠BFH，

又∵∠DOB=∠BHF=90°，

∴△BOD∽△FHB，

∴===2，

∴FH=，OD=2BH，

∵∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，

∴四邊形OEFH是矩形，

連結(jié)PE，

∵∠ADP是△DPE的一個(gè)外角，

∴∠ADP=∠DEP+∠DPE，

∵∠BDE是△ABD的一個(gè)外角，

∴∠BDE=∠ABD+∠OAB，

∵∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，

∴∠DPE=∠OAB，

∴∠DFE=∠OAB，

∴=，即=，

∴DE=EF，

∴OD+=×（3﹣OD），解得OD=；

②當(dāng)=時(shí)，

如圖2，連結(jié)EB，過點(diǎn)F作FG⊥OB于點(diǎn)G，

同理可得DE=EF，

同理可得：△BOD∽△FGB，

∴===，

∴FG=6，OD=BG，

∵∠FGO=∠GOE=∠OEF=90°，

∴四邊形OEFG是矩形，

6﹣OD=×（3+2OD），解得OD=．

綜上所述：當(dāng)△BDF為直角三角形，并且兩條直角邊之比為2：1時(shí)，OD的長為或．

故答案為：或．