【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,點(diǎn)O是對角線BD的中點(diǎn),過點(diǎn)O的直線分別交AB,CD邊于點(diǎn)E,F.
(1)求證:四邊形DEBF是平行四邊形;
(2)當(dāng)DE=DF時(shí),求EF的長.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)由矩形的性質(zhì)得到AB∥CD,再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DFO=∠BEO再證明△DOF≌△BOE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DF=BE,從而得到四邊形BEDF是平行四邊形;
(2)先證明四邊形BEDF是菱形,再得到DE=BE,EF⊥BD,OE=OF,設(shè)AE=x,則DE=BE=8-x根據(jù)勾股定理求解即可.
(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,
∴∠DFO=∠BEO.
在△DOF和△BOE中
,
∴△DOF≌△BOE(AAS).
∴DF=BE.
又∵DF∥BE,∴四邊形BEDF是平行四邊形.
(2)解:∵DE=DF,四邊形BEDF是平行四邊形,
∴四邊形BEDF是菱形.
∴DE=BE,EF⊥BD,OE=OF.
設(shè)AE=x,則DE=BE=8-x,
在Rt△ADE中,根據(jù)勾股定理,有AE2+AD2=DE2,
∴x2+62=(8-x)2.解得x=.
∴DE=8-=
.
在Rt△ABD中,根據(jù)勾股定理,有AB2+AD2=BD2,
∴BD==10.
∴OD=BD=5.
在Rt△DOE中,根據(jù)勾股定理,有DE2-OD2=OE2,
∴OE==
.
∴EF=2OE=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,直線與
軸交于點(diǎn)
,按如圖方式作正方形
、
、
,點(diǎn)
、
、
在直線
上,點(diǎn)
、
、
在
軸上,圖中陰影部分三角形的面積從左到右依次記為
、
、
、
,則
的值為__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“半日走遍江淮大地,安徽風(fēng)景盡在徽園”,位于省會合肥的徽園景點(diǎn)某年三月共接待游客萬人,四月比三月旅游人數(shù)增加了
,五月比四月游客人數(shù)增加了
,已知三月至五月徽園的游客人數(shù)平均月增長率為
,則可列方程為( )
A.B.
C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】兩塊等腰直角三角形紙片和
按圖1所示放置,直角頂點(diǎn)重合在點(diǎn)
處,
,
.保持紙片
不動,將紙片
繞點(diǎn)
逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)
.當(dāng)
與
在同一直線上(如圖2)時(shí),
的正切值等于_________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,對于兩個(gè)點(diǎn)
,
和圖形
,如果在圖形上存在點(diǎn)
,
(
,
可以重合),使得
,那么稱點(diǎn)
與點(diǎn)
是圖形
的一對“倍點(diǎn)”.已知⊙O的半徑為
,點(diǎn)
.
(1)①點(diǎn)到⊙O的最大值是_______,最小值是_______;
②在,
,這兩個(gè)點(diǎn)中,與點(diǎn)
是⊙O的一對“倍點(diǎn)”的是_______;
(2)在直線上存在點(diǎn)
與點(diǎn)
是⊙O的一對“倍點(diǎn)”,求
的取值范圍;
(3)已知直線,與
軸、
軸分別交于點(diǎn)的
,
,若線段
(含端點(diǎn)
,
)上所有點(diǎn)與點(diǎn)
都是⊙O的一對“倍點(diǎn)”,直接寫出
的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)O為正六邊形的中心,P,Q分別從點(diǎn)A(1,0)同時(shí)出發(fā),沿正六邊形按圖示方向運(yùn)動,點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位長度,點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位長度,則第2020次相遇地點(diǎn)的坐標(biāo)為( )
A.B.
C.
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線與x軸交于點(diǎn)A(3,0),與y軸交于點(diǎn)B,拋物線
經(jīng)過A,B.
(1)求拋物線解析式;
(2)E(m,0)是x軸上一動點(diǎn),過點(diǎn)E作軸于點(diǎn)E,交直線AB于點(diǎn)D,交拋物線于點(diǎn)P,連接PB.
①點(diǎn)E在線段OA上運(yùn)動,若△PBD是等腰三角形時(shí),求點(diǎn)E的坐標(biāo);
②點(diǎn)E在x軸的正半軸上運(yùn)動,若,請直接寫出m的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:有一組對角互補(bǔ)的四邊形叫做互補(bǔ)四邊形.
概念理解:
①在互補(bǔ)四邊形中,
與
是一組對角,若
則
_
②如圖1,在中,點(diǎn)
分別在邊
上,且
求證:四邊形
是互補(bǔ)四邊形.
探究發(fā)現(xiàn):如圖2,在等腰
中,
點(diǎn)
分別在邊
上,
四邊形
是互補(bǔ)四邊形,求證:
.
推廣運(yùn)用:如圖3,在
中,點(diǎn)
分別在邊
上,
四邊形
是互補(bǔ)四邊形,若
,求
的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC.點(diǎn)E為CD邊上一點(diǎn),AE與BE分別為∠DAB和∠CBA的平分線.
(1)請你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件 ,使得四邊形ABCD是平行四邊形,并證明你的結(jié)論;
(2)作線段AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)O,并以AB為直徑作⊙O(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法);
(3)在(2)的條件下,⊙O交邊AD于點(diǎn)F,連接BF,交AE于點(diǎn)G,若AE=4,sin∠AGF=,求⊙O的半徑.
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