Question

【題目】正方形ABCD的邊長為2，M、N分別為邊BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，且∠MAN＝45°

（1）猜想線段BM、DN、MN的數(shù)量關(guān)系并證明；

（2）若BM＝CM，P是MN的中點(diǎn)，求AP的長；

（3）M、N運(yùn)動(dòng)過程中，請(qǐng)直接寫出△AMN面積的最大值　 　和最小值　 　．

Answer 1

【答案】（1）BM+DN＝MN；（2）；（3）2，4﹣4．

【解析】

（1）延長CB到E，使BE＝DN，連接AE，根據(jù)SAS證△ABE≌△ADN，推出AE＝AN，∠DAN＝∠BAE，求出∠NAM＝∠MAE，根據(jù)SAS證出△NAM≌△EAM，從而得到BM+DN＝MN；

（2）如圖2，過點(diǎn)A作AF⊥MN，由AAS可證△ABM≌△AFM，可得AB＝AF＝2，MB＝MF＝1，由勾股定理可求DN＝，即可求PF的長，由勾股定理可求AP的長；（3）由三角形的面積公式可求△AMN面積＝MN，由三角形的三邊關(guān)系和完全平方公式可求MN的最大值和最小值，即可求解．

解：

（1）BM+DN＝MN．

理由：如圖，延長CB至E使得BE＝DN，連接AE，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠D＝∠ABC＝90°＝∠ABE，

在△ADN和△ABE中，

，

∴△ABE≌△ADN（SAS），

∴∠BAE＝∠DAN，AE＝AN，

∴∠EAN＝∠BAE+∠BAN＝∠DAN+∠BAN＝90°，

∵∠MAN＝45°，

∴∠EAM＝∠MAN，

∵在△EAM和△NAM中，

，

∴△EAM≌△NAM（SAS），

∴MN＝ME，

∵ME＝BM+BE＝BM+DN，

∴BM+DN＝MN．

（2）如圖2，過點(diǎn)A作AF⊥MN，

∵點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，

∴BM＝MC＝BC＝1，

由（1）可知：∠AMB＝∠AMF，∠ABM＝∠AFM＝90°，AM＝AM，

∴△ABM≌△AFM（AAS），

∴AB＝AF＝2，MB＝MF＝1，

∵BM+DN＝MN，

∴DN＝NF，

∵MC2+NC2＝MN2，

∴1+（2﹣DN）2＝（1+DN）2，

∴DN＝，

∴MN＝1+DN＝，

∵P是MN的中點(diǎn)，

∴MP＝，

∴PF＝MF﹣MP＝，

∴AP＝.

（3）∵△AMN面積＝MN×AF，

∴△AMN面積＝MN，

∵MN＝BM+DN，BM+CM＝BC＝2，DN+CN＝CD＝2，

∴MN+CM+CN＝BC+CD＝4，

∴CM+CN＝4﹣MN，

∴2CMCN+CM2+CN2＝（4﹣MN）2＝16+MN2﹣8MN，且CM2+CN2＝MN2，

∴CMCN＝8﹣4MN，

∵（CM﹣CN）2≥0，

∴CM2+CN2≥2CMCN，

∴MN2≥16﹣8MN，

∴（MN+4）2≥32，

∴MN≥﹣4，或MN≤﹣﹣4（舍去），

∴MN的最小值為﹣4，

∴△AMN面積的最小值為﹣4，

∵MN+CM+CN＝4，且CM+CN≤MN，

∴MN≤4﹣MN，

∴MN≤2，

∴MN的最大值為2，

∴△AMN面積的最大值為2；

故答案為2，﹣4．