Question

【題目】如圖，在△ABC中，OA=8，OB=6，C點(diǎn)與A點(diǎn)關(guān)于直線OB對(duì)稱，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在線段AC、AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A．C重合），滿足∠BPQ=∠BAO．

（1）當(dāng)OP=_______時(shí)，△APQ≌△CBP，說明理由；

（2）當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，求OP的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）2，理由見解析；（2）OP2或．

【解析】

（1）求出∠PAQ=∠BCP，∠AQP=∠BPC，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求出AP=BC，根據(jù)全等三角形的判定推出即可．
（2）分為三種情況：①PQ=BP，②BQ=QP，③BQ=BP，根據(jù)（2）即可推出①，根據(jù)三角形外角性質(zhì)即可判斷②，根據(jù)勾股定理得出方程，即可求出③．

解：（1）當(dāng)OP=2時(shí)，△APQ≌△CBP．

理由如下：

∵OA=8，OB=6，C點(diǎn)與A點(diǎn)關(guān)于直線OB對(duì)稱，

∴，

∵OA=8，OP=2，

∴AP=BC=10

∵C點(diǎn)與A點(diǎn)關(guān)于直線OB對(duì)稱，

∴∠BAO=∠BCO

∵∠BPQ=∠BAO，

∴∠BPQ=∠BCO

∵∠APB=∠APQ+∠BPQ=∠BCO+∠CBP，

∴∠APQ=∠CBP

在△APQ和△CBP中

，

∴△APQ≌△CBP（ASA）

（2）分為3種情況：

①當(dāng)PB=PQ時(shí)，

由（1）得：△APQ≌△CBP時(shí)，PB=PQ此時(shí)OP=2；

②當(dāng)BQ=BP時(shí)，

∠BPQ=∠BQP

∵∠BPQ=∠BAO，

∴∠BAO=∠BQP

根據(jù)三角形外角性質(zhì)得：∠BQP＞∠BAO，

∴這種情況不存在；

③當(dāng)QB=QP時(shí)，

∠QBP=∠BPQ=∠BAO，

∴PB=PA，

設(shè)OP=x，則PB=PA=x+8

在Rt△OBP中，PB2=OP2+OB2，

∴（8+x）2=x2+62

解得：x；

∵點(diǎn)P在AC上，

∴點(diǎn)P在點(diǎn)O左邊，

此時(shí)OP；

∴當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，OP2或；