Question

【題目】有兩個(gè)內(nèi)角分別是它們對(duì)角的一半的四邊形叫做半對(duì)角四邊形．

（1）如圖1，在半對(duì)角四邊形ABCD中，∠B＝∠D，∠C＝∠A，求∠B與∠C的度數(shù)之和；

（2）如圖2，銳角△ABC內(nèi)接于⊙O，若邊AB上存在一點(diǎn)D，使得BD＝BO．∠OBA的平分線交OA于點(diǎn)E，連結(jié)DE并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F，∠AFE＝2∠EAF．

求證：四邊形DBCF是半對(duì)角四邊形；

（3）如圖3，在（2）的條件下，過點(diǎn)D作DG⊥OB于點(diǎn)H，交BC于點(diǎn)G．當(dāng)DH＝BG時(shí)，求△BGH與△ABC的面積之比．

Answer 1

【答案】（1）∠B與∠C的度數(shù)之和120°；（2）證明見解析；（3）.

【解析】試題分析：（1）在半對(duì)角四邊形ABCD中，∠B=∠D，∠C=∠A；根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°，得出∠B與∠C的度數(shù)之和；

（2）如圖連接OC，根據(jù)條件先證△BED≌△BEO，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠BCF=∠BOE=∠BDE；設(shè)∠EAF=α，則∠AFE=2∠EAF=2α得出∠EFC=180°-∠AFE=180°-2α；再根據(jù)OA=OC得出∠OAC=∠OCA=α， 根據(jù)三角形內(nèi)角和得出∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-2α；從而得證.

（3）如圖，過點(diǎn)作OM⊥BC于點(diǎn)M，由四邊形DBCF是半對(duì)角四邊形，得出∠ABC+∠ACB=120°，∠BAC=60°，∠BOC=2∠BAC=120°；再由OB=OC，得出∠OBC=∠OCB=30°，BC=2BM=BO=BD；根據(jù)△DBG～△CBA得出答案.

試題解析：（1）在半對(duì)角四邊形ABCD中，∠B=∠D，∠C=∠A，

∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，

∴3∠B+3∠C=360°，

∴∠B+∠C=120°，

即∠B與∠C的度數(shù)之和120°；

（2）在△BED和△BEO中，

，

∴△BED≌△BEO（SAS），

∴∠BDE=∠BOE，

又∵∠BCF=∠BOE，

∴∠BCF=∠BDE，

如圖，連結(jié)OC，

設(shè)∠EAF=α，.則∠AFE=2∠EAF=2α，

∴∠EFC=180°-∠AFE=180°-2α，

∵OA=OC,

∴∠OAC=∠OCA=α，

∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-2α，

∴∠ABC=∠AOC=∠EFC.

∴四邊形DBCF是半對(duì)角四邊形；

（3）如圖，作過點(diǎn)OM⊥BC于點(diǎn)M.

∵四邊形DBCF是半對(duì)角四邊形，

∴∠ABC+∠ACB=120°，

∴∠BAC=60°，

∴∠BOC=2∠BAC=120°，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB=30°，

∴BC=2BM=BO=BD，

∵DG⊥OB，

∴∠HGB=∠BAC=60°，

∵∠DBG=∠CBA，

∴△DBG∽△CBA，

∴ ，

∵DH=BG，BG=2HG，

∴DG=3HG，

∴，

∴.