Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），直線經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P是x軸下方拋物線上一點(diǎn)，連接AC，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AC交BC于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作x軸的平行線，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線，兩條直線相交于點(diǎn)K，PK交BC于點(diǎn)H，設(shè)QK的長(zhǎng)為t，PH的長(zhǎng)為d，求d與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（不要求寫(xiě)出自變量t的取值范圍）

（3）在（2）的條件下，PK交x軸于點(diǎn)R，過(guò)點(diǎn)R作RT⊥PQ，垂足為T(mén)，當(dāng)PK=PT時(shí)，將線段QT繞點(diǎn)Q逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段QL，M是線段PQ上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作直線AC的垂線，垂足為N，連接ON、ML，當(dāng)ML∥ON時(shí)，求N點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=-4x+3（2）（3）

【解析】試題分析：

（1）由已知條件易得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），把B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式可求得b、c的值，即可得到二次函數(shù)的解析式；

（2）由（1）中所求二次函數(shù)的解析式易得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），結(jié)合點(diǎn)C（0，3）的坐標(biāo)可得tan∠ACO=，由OB=OC易得∠OCB=∠OBC=45°，結(jié)合PK∥y軸，QK∥x軸可得∠KHQ=∠KQH=45°，由此可得KH=QK=t，由PQ∥AC可得∠ACB=∠PQB，結(jié)合∠OCB=∠PHB=∠PQB+∠QPK，可得∠QPK=∠ACO，則tan∠QPK=，由此可得d=2t；

（3）如下圖2，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，先由已知條件解PR=t，OR=3-t，由此可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3-t，-t），將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入解得t1=0（舍去），t2=1，由此可得， ， ， ， ， ， ， ， ， ；結(jié)合已知條件進(jìn)一步可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)為，由此即可求得直線OD的解析式為y=x，再由已知求出直線AC的解析式即可由此求出直線OD和AC的交點(diǎn)N的坐標(biāo)了.

試題分析：

（1）把x=0代入y=-x+3，得y=3,

∵拋物線經(jīng)過(guò) ，

∴ 解得

∴，

∴拋物線為y=-4x+3

（2）如下圖1，令，即，解得，∴ 點(diǎn)坐標(biāo)為，∴ ，∵ 點(diǎn)坐標(biāo)為，∴ ，∴

∵ ， ，∴ ， ∴， ∵軸，

∴，∵ 軸， 軸，∴，

∴，∴

∵，∴ ，∵ ，

∴，

即 ∴， ∵，

∴span>

∵，∴ ；

（3）如下圖2，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，

∵， ， ， ，

∴，

∴， ， ，

∵，

∴

∵，

∴， ，

∴,

將代入中得， ，

解得 (舍)， ，

∴， ， ， ， ， ，

， ， ， ，

∵，

∴，

∴， ，

∴

∴，

∵，

∴，

，由題意知，四邊形是矩形，

∴，

由旋轉(zhuǎn)知， ， ，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴四邊形是平行四邊形，

∴， ，

∵，

∴，

∵， ，

∴

∴，

∵

∴， ，由題意知四邊形為矩形， ， ， ，

，

∴

設(shè)直線的解析式為，將代入得，解得，

∴直線的解析式為，設(shè)直線的解析式為，將， 代入得，解得，

∴直線的解析式為，令，解得，

∴點(diǎn)坐標(biāo)為.