【題目】如圖,E是矩形ABCD邊AD上一點(diǎn),以DE為直徑向矩形內(nèi)部作半圓O,AB=4,OD=2,點(diǎn)G在矩形內(nèi)部,且∠GCB=30°,GC=2,過半圓弧(含點(diǎn)D,E)上動(dòng)點(diǎn)P作PF⊥AB于點(diǎn)F.當(dāng)△PFG是等邊三角形時(shí),PF的長是___.
【答案】4或6
【解析】
分兩種情況:①作輔助線,構(gòu)建直角三角形和等邊三角形,先根據(jù)直角三角形30°的性質(zhì)求GN的長,再證明D、P、G在一直線上,得△ODP是等邊三角形,則PQ=,由此求出等邊三角形PFG的高線GH的長,最后利用特殊的三角函數(shù)值求出邊長.
②同理可得結(jié)論.
分兩種情況:
①當(dāng)P在正方形內(nèi)部時(shí),如圖1,過G作GH⊥PF于H,交AD于M,BC于N,
∵△PFG是等邊三角形,
∴∠PGH=∠PGF=×60°=30°,
Rt△CGN中,∵∠GCB=30°,CG=2,
∴GN=CG=,
∠CGN=60°,
∴∠CGP=180°-30°-60°=90°,
延長GP交直線CD于D′,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠BCD=90°,
∴∠DCG=60°,
∴∠CD′G=30°,
∴D′C=2CG=4,
∵CD=AB=4,
∴D與D′重合,
∴∠ADG=60°,
連接OP,過P作PQ⊥AD于Q,
∵OD=OP=2,
∴△ODP是等邊三角形,
∴PQ=,
∴GH=4--=2,
Rt△PHG中,cos30°=,
∴PG=,
∴PF=PG=4,
②當(dāng)P與D重合,則F與A重合,如圖2,
過G作MN⊥BC,交AD于M,交BC于N,
若△PFG是等邊三角形時(shí),同理得:GN=,∠DGM=30°,
則MG=3,
∴DG=6,DM=3,
∴AD=6,
即PF=6,
綜上所述,PF為4或6,
故答案為:4或6.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,P、Q分別是BC、AC上的點(diǎn),作PR⊥AB,PS⊥AC,垂足分別為R、S,若AQ=PQ,PR=PS,則結(jié)論:①PA平分∠RPS;②AS=AR;③QP∥AR;④△BRP≌△CSP.其中正確的有( )
A. 4個(gè) B. 3個(gè) C. 2個(gè) D. 1個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中,點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上,AB、CD相交于點(diǎn)O,則tan∠AOD=________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在四邊形ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,過點(diǎn)C作CE⊥AD于點(diǎn)E,CE=4,△CDE沿射線DA平移,當(dāng)CE經(jīng)過點(diǎn)B時(shí),運(yùn)動(dòng)停止.設(shè)點(diǎn)D的平移距離為x,平移后的三角形與四邊形ABCD的重合部分面積為y,y與x的函數(shù)圖象如圖2所示:
(1)圖中DE= ;
(2)求BC的長;
(3)求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫出x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,拋物線C1:y=ax2﹣2ax+c(a<0)與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣1,0),點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),OC=3OA,拋物線C1的頂點(diǎn)為G.
(1)求出拋物線C1的解析式,并寫出點(diǎn)G的坐標(biāo);
(2)如圖2,將拋物線C1向下平移k(k>0)個(gè)單位,得到拋物線C2,設(shè)C2與x軸的交點(diǎn)為A′、B′,頂點(diǎn)為G′,當(dāng)△A′B′G′是等邊三角形時(shí),求k的值:
(3)在(2)的條件下,如圖3,設(shè)點(diǎn)M為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)M作x軸的垂線分別交拋物線C1、C2于P、Q兩點(diǎn),試探究在直線y=﹣1上是否存在點(diǎn)N,使得以P、Q、N為頂點(diǎn)的三角形與△AOQ全等,若存在,直接寫出點(diǎn)M,N的坐標(biāo):若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)探究:如圖1和2,四邊形ABCD中,已知AB=AD,∠BAD=90°,點(diǎn)E、F分別在BC、CD上,∠EAF=45°.
①如圖1,若∠B、∠ADC都是直角,把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,使AB與AD重合,則能證得EF=BE+DF,請(qǐng)寫出推理過程;
②如圖2,若∠B、∠D都不是直角,則當(dāng)∠B與∠D滿足數(shù)量關(guān)系 時(shí),仍有EF=BE+DF;
(2)拓展:如圖3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,點(diǎn)D、E均在邊BC上,且∠DAE=45°.若BD=1,求DE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,E為 BC上的點(diǎn),F(xiàn)為 CD邊上的點(diǎn),且AE=AF,AB=4,設(shè)EC=x,△AEF 的面積為y,則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①是一個(gè)直角三角形紙片,∠A=30°,將其折疊,使點(diǎn)C落在斜邊上的點(diǎn)C處,折痕為BD,如圖②,再將②沿DE折疊,使點(diǎn)A落在DC′的延長線上的點(diǎn)A′處,如圖③,若折痕DE的長是cm,則BC的長是( 。
A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平行四邊形ABCD中,O為對(duì)角線BD的中點(diǎn),EF經(jīng)過點(diǎn)O分別交AD、BC于E、F兩點(diǎn),
(1)如圖1,求證:AE=CF;
(2)如圖2,若EF⊥BD,∠AEB=60°,請(qǐng)你直接寫出與DE(DE除外)相等的所有線段.
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