Question

【題目】如圖，已知直線與軸，軸分別交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)是，且與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．

求二次函數(shù)的解析式；

當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，線段PG的長(zhǎng)取最小值?最小值為多少?

若點(diǎn)是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上任意點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?若存在，請(qǐng)你直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)你說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）； （2）點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，最小值為；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為或

【解析】

(1)根據(jù)頂點(diǎn)式直接寫(xiě)出二次函數(shù)的解析式，整理可得二次函數(shù)的一般式；

(2) 過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，即可通過(guò)三角函數(shù)關(guān)系式把求線段PG的長(zhǎng)取最小值轉(zhuǎn)化為求線段PH的最小值即可得到答案；

(3)分CD為菱形的邊和對(duì)角線兩種情況討論即可；

解：由題意，可得拋物線為

整理得：

故二次函數(shù)的解析式為

把代入得

點(diǎn)的坐標(biāo)為．

把代入

得

點(diǎn)的坐標(biāo)為．

如圖過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)

則有，

（兩直線平行，同位角相等）

設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

則，，

，

，

當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為，

此時(shí)有最小值，

當(dāng)時(shí)，

此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為

符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或，

求解如下：

由題意知，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為，

把代入，

得或，

，

．

I．如圖當(dāng)以為菱形的邊時(shí)，平行且等于

若點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)，

，

，

把代入，得，

點(diǎn)的坐標(biāo)為．

四邊形為菱形，

即符合題意，

同理可知，當(dāng)的坐標(biāo)為時(shí)，四邊形也為菱形．

II．如圖當(dāng)為菱形的對(duì)角線時(shí)，

根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分，可得對(duì)稱(chēng)軸垂直平分

所以在對(duì)稱(chēng)軸上．

又因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，

所以點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．

綜上所述，符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或