Question

【題目】如圖，在菱形四邊形ABCD中，，，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)P為直線BD上的動(dòng)點(diǎn)不與點(diǎn)B重合，連接AP，將線段AP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段PE，連接CE、BE．

問題發(fā)現(xiàn)

如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在直線BD上時(shí)，線段BP與CE的數(shù)量關(guān)系為______；______

拓展探究

如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段BO延長線上時(shí)，的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；

問題解決

當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段AP的長度．

Answer 1

【答案】（1），（2）成立（3）AP的長為4或

【解析】

問題發(fā)現(xiàn)

連接AE，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，，，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得是等邊三角形，可得，，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)和等腰三角形的判定，可證，由菱形的性質(zhì)可得，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得，即可得；

拓展探究

由等邊三角形的性質(zhì)可得，，，可得，根據(jù)“SAS”可證≌，可得，，即可得；

問題解決

分點(diǎn)E在AC左側(cè)，點(diǎn)E在AC右側(cè)兩種情況討論，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)以及勾股定理可求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

問題發(fā)現(xiàn),如圖，連接AE，

四邊形ABCD是菱形，，

，，，

垂直平分AC，

，

旋轉(zhuǎn)

，，

是等邊三角形

，

，

是等邊三角形，，

，

，

故答案為：，

拓展探究

結(jié)論仍然成立，

如圖，連接AE，

由可知：，都是等邊三角形，

，，

，且，，

≌

，

結(jié)論仍然成立；

問題解決

如圖，當(dāng)點(diǎn)E在AC左側(cè)時(shí)，

，

，且

與AB重合，

，，

，

，

是等邊三角形

此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合

如圖，若點(diǎn)E在AC右側(cè)時(shí)，

，，

，

，

，，，

，，

，

，

在中，

是等邊三角形

綜上所述：AP的長為4或