Question

【題目】如圖所示，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（3，0），（0，1），點(diǎn)D是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)B、C不重合），過(guò)點(diǎn)D作直線y＝﹣x+m交折線OAB于點(diǎn)E．

（1）請(qǐng)寫(xiě)出m的取值范圍 ；

（2）記△ODE的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】（1）1＜m＜2.5；（2）S＝

【解析】

（1）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)D橫坐標(biāo)的范圍即可得出m的取值范圍；
（2）分點(diǎn)E在線段OA上及點(diǎn)E在線段AB上時(shí)（與端點(diǎn)A、B不重合）兩種情況考慮：①當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時(shí)，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，由點(diǎn)E的橫坐標(biāo)≤3可得出此時(shí)m的取值范圍，再利用三角形的面積公式可找出S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)（與端點(diǎn)A、B不重合），此時(shí)1.5＜m＜2.5，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)D、B的坐標(biāo)即可得出CD、AE、BD、BE的長(zhǎng)度，再根據(jù)S=S矩形OABC-S△OAE-S△OCD-S△BDE即可找出S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．綜上即可得出結(jié)論．

解：（1）當(dāng)y＝1時(shí)，有﹣x+m＝1，

∴x＝2m﹣2，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2m﹣2，1）．

∵點(diǎn)D是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)B、C不重合），

∴0＜2m﹣2＜3，

∴1＜m＜2.5．

故答案為：1＜m＜2.5．

（2）①當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時(shí)，如圖1所示．

當(dāng)y＝0時(shí)，有﹣x+m＝0，

∴x＝2m，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2m，0），

∴2m≤3，

∴此時(shí)1＜m≤1.5，S＝OE OC＝m；

②當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)（與端點(diǎn)A、B不重合），此時(shí)1.5＜m＜2.5，如圖2所示．

當(dāng)x＝3時(shí)，y＝﹣x+m＝m﹣1.5，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，m﹣1.5）．

∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2m﹣2，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1），

∴CD＝2m﹣2，BD＝5﹣2m，AE＝m﹣1.5，BE＝2.5﹣m，

S＝S矩形OABC﹣S△OAE﹣S△OCD﹣S△BDE，

＝OAOC﹣OAAE﹣OCCD﹣BDBE，

＝3×1﹣×3（m﹣1.5）﹣（2m﹣2）﹣（5﹣2m）（2.5﹣m），

＝﹣m2+2.5m．

綜上所述：S與m的函數(shù)關(guān)系式為S＝．