Question

【題目】△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=2cm．長為1cm的線段MN在△ABC的邊AB上沿AB方向

以1cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)前點(diǎn)M與點(diǎn)A重合）．過M，N分別作AB的垂線交直角邊于P，Q兩點(diǎn)，線段MN運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts．

（1）若△AMP的面積為y，寫出y與t的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量t的取值范圍）；

（2）線段MN運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形MNQP有可能成為矩形嗎？若有可能，求出此時(shí)t的值；若不可能，說明理由；

（3）t為何值時(shí)，以C，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？

Answer 1

【答案】（1）y與t的函數(shù)關(guān)系式為

（2）當(dāng)時(shí)，四邊形MNQP為矩形 ；

（3）當(dāng)或時(shí)，以C，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似.

【解析】試題分析：（1）分兩種情況，點(diǎn)P可以在AC上時(shí)和當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，利用三角函數(shù)分別用含t的代數(shù)式表示出PM，AM，再用S△APM=AMPM得出y與t的函數(shù)關(guān)系式，（2）當(dāng)PM=QN時(shí)，四邊形MNQP為矩形，建立含t的方程，求得t的值，（3）以C，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似有兩種情況，△PQC∽△ABC時(shí)和△QPC∽△ABC，分別相似三角形的判定和性質(zhì)，求得相對應(yīng)的t的值．

試題解析：（1）當(dāng)點(diǎn)P在AC上時(shí)，

∵AM=t ，

當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，

（2）∵AC=2，∴AB=4，∴BN=AB-AM-MN=4-t=3-t

由條件可知，若四邊形MNQP為矩形，需PM=QN，

，

∴△PQC∽△ABC，

除此之外，當(dāng)∠CPQ=∠B=30°時(shí)，△QPC∽△△ABC，

，

∴AP=2AM=2t，

∴CP=2-2t，

，

，