Question

16．如圖，△ABC中，D是AB的中點，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥AC交AC于F，AC=12，BC=8，則AF=10．

Answer 1

分析 先連接AE，BE，過E作EG⊥BC于G，根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及中垂線的性質(zhì)，得出EF=EG，AE=BE，進(jìn)而判定Rt△AEF≌Rt△BEG，即可得到AF=BG，據(jù)此列出方程12-x=8+x，求得x的值，即可得到AF長．

解答 解：連接AE，BE，過E作EG⊥BC于G，
∵D是AB的中點，DE⊥AB，
∴DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∵∠ACE+∠BCE=180°，∠ECG+∠BCE=180°，
∴∠ACE=∠ECG，
又∵EF⊥AC，EG⊥BC，
∴EF=EG，∠FEC=∠GEC，
∵CF⊥EF，CG⊥EG，
∴CF=CG，
在Rt△AEF和Rt△BEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=BE}\\{EF=EG}\end{array}\right.$，
∴Rt△AEF≌Rt△BEG（HL），
∴AF=BG，
設(shè)CF=CG=x，則AF=AC-CF=12-x，BG=BC+CG=8+x，
∴12-x=8+x，
解得x=2，
∴AF=12-2=10．
故答案為：10．

點評 本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)的運用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，依據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等進(jìn)行求解．解題時注意：角平分線上的點到角兩邊的距離相等；線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．