Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，將△ADC沿AC折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)D′處，CD′與AB交于點(diǎn)F．
（1）求線段AF的長(zhǎng)．
（2）求△AFC的面積．
（3）點(diǎn)P為線段AC（不含點(diǎn)A、C）上任意一點(diǎn)，PM⊥AB于點(diǎn)M，PN⊥CD′于點(diǎn)N，試求PM+PN的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B=90°，AB∥CD，

∴∠DCA=∠BAC，

∵矩形沿AC折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，

∴△ACD≌△ACE，

∴∠DCA=∠ECA，

∴∠BAC=∠ECA，

∴AF=CF，

設(shè)AF=CF=x，則BF=8﹣x，

在Rt△BCF中，根據(jù)勾股定理得：BC2+BF2=CF2，

即42+（8﹣x）2=x2，

解得：x=5，

∴AF=5；

（2）解：S△ACF= AFBC= ×5×4=10；
（3）解：連接PF，

×AF×PM+ ×CF×PN=S△ACF=10，

∴PM+PN=4．

【解析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和翻折變換的性質(zhì)得到AF=CF，設(shè)AF=x，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可求出AF；（2）根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可；（3）連接PF，根據(jù)三角形的面積公式解答即可．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用矩形的性質(zhì)和翻折變換（折疊問(wèn)題）的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握矩形的四個(gè)角都是直角，矩形的對(duì)角線相等；折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和角相等．