【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=8,BC=4,將△ADC沿AC折疊,點(diǎn)D落在點(diǎn)D′處,CD′與AB交于點(diǎn)F.
(1)求線段AF的長(zhǎng).
(2)求△AFC的面積.
(3)點(diǎn)P為線段AC(不含點(diǎn)A、C)上任意一點(diǎn),PM⊥AB于點(diǎn)M,PN⊥CD′于點(diǎn)N,試求PM+PN的值.

【答案】
(1)解:∵四邊形ABCD是矩形,

∴∠B=90°,AB∥CD,

∴∠DCA=∠BAC,

∵矩形沿AC折疊,點(diǎn)D落在點(diǎn)E處,

∴△ACD≌△ACE,

∴∠DCA=∠ECA,

∴∠BAC=∠ECA,

∴AF=CF,

設(shè)AF=CF=x,則BF=8﹣x,

在Rt△BCF中,根據(jù)勾股定理得:BC2+BF2=CF2,

即42+(8﹣x)2=x2,

解得:x=5,

∴AF=5;


(2)解:S△ACF= AFBC= ×5×4=10;
(3)解:連接PF,

×AF×PM+ ×CF×PN=S△ACF=10,

∴PM+PN=4.


【解析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)和翻折變換的性質(zhì)得到AF=CF,設(shè)AF=x,根據(jù)勾股定理列出方程,解方程即可求出AF;(2)根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可;(3)連接PF,根據(jù)三角形的面積公式解答即可.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用矩形的性質(zhì)和翻折變換(折疊問(wèn)題)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案,需要掌握矩形的四個(gè)角都是直角,矩形的對(duì)角線相等;折疊是一種對(duì)稱變換,它屬于軸對(duì)稱,對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線的垂直平分線,折疊前后圖形的形狀和大小不變,位置變化,對(duì)應(yīng)邊和角相等.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)根據(jù)圖象小明登山的速度為米/分,小紅的登山速度為米/分.
(2)求出BC段圖象的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量的取值范圍.
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1)當(dāng)30≤x≤60時(shí),求yx的函數(shù)關(guān)系式;

2)求出該廠生產(chǎn)銷售這種產(chǎn)品的純利潤(rùn)w(萬(wàn)元)與銷售價(jià)格x(元/個(gè))的函數(shù)關(guān)系式;

3)銷售價(jià)格應(yīng)定為多少元時(shí),獲得利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是多少?

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(1)求證:CE=AD;

(2)當(dāng)D在AB中點(diǎn)時(shí),四邊形BECD是什么特殊四邊形?說(shuō)明你的理由;

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