【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,過點C的直線MN∥AB,D為AB邊上一點,過點D作DE⊥BC,交直線MN于E,垂足為F,連接CD、BE.
(1)求證:CE=AD;
(2)當D在AB中點時,四邊形BECD是什么特殊四邊形?說明你的理由;
(3)若D為AB中點,則當∠A的大小滿足什么條件時,四邊形BECD是正方形?請說明你的理由.
【答案】(1)證明見解析;(2)當點D是AB中點時,四邊形BECD是菱形,理由見解析;(3)當∠A的大小是45°時,四邊形BECD是正方形.
【解析】分析:(1)由BC⊥AC,DE⊥BC,得到DE∥AC,從而判斷出四邊形ADEC是平行四邊形.即可,
(2)先判斷出△BFD≌△CFE,再判斷出BC和DE垂直且互相平分,得到四邊形BECD是菱形.
(3)先判斷出∠CDB=90°,從而得到有一個角是直角的菱形是正方形.
解析:(1)證明:∵直線m∥AB,
∴EC∥AD.
又∵∠ACB=90°,
∴BC⊥AC.
又∵DE⊥BC,
∴DE∥AC.
∵EC∥AD,DE∥AC,
∴四邊形ADEC是平行四邊形.
∴CE=AD.
(2)當點D是AB中點時,四邊形BECD是菱形.
證明:∵ D是AB中點,
∴DB=DA
又∵直線m∥AB,CE=AD
∴DB= CE,DB ∥ CE
∴四邊形BDCE是平行四邊形
又∵DE⊥BC
∴四邊形BECD是菱形
(3)當∠A的大小是45°時,四邊形BECD是正方形.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校開展“愛我海珠,創(chuàng)衛(wèi)同行”的活動,倡議學生利用雙休日在海珠濕地公園參加義務(wù)勞動,為了解同學們勞動情況,學校隨機調(diào)查了部分同學的勞動時間,并用得到的數(shù)據(jù)繪制了不完整的統(tǒng)計圖,根據(jù)圖中信息解答下列問題:
(1)將條形統(tǒng)計圖補充完整.
(2)抽查的學生勞動時間的眾數(shù)為 , 中位數(shù)為 .
(3)已知全校學生人數(shù)為1200人,請你估算該校學生參加義務(wù)勞動1小時的有多少人?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=8,BC=4,將△ADC沿AC折疊,點D落在點D′處,CD′與AB交于點F.
(1)求線段AF的長.
(2)求△AFC的面積.
(3)點P為線段AC(不含點A、C)上任意一點,PM⊥AB于點M,PN⊥CD′于點N,試求PM+PN的值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知,如圖,AB是⊙O的直徑,點C為⊙O上一點,OF⊥BC于點F,交⊙O于點E,AE與BC交于點H,點D為OE的延長線上一點,且∠ODB=∠AEC.
(1)求證:BD是⊙O的切線;
(2)求證:CE2=EHEA;
(3)若⊙O的直徑為5,sinA=,求BH的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】多肉植物因體積小、外形萌、色彩斑斕,茶幾陽臺擺放方便,深愛送花愛好者的喜歡,某花店抓佳這個商機,第一次購進甲、乙兩種多肉植物共300株.甲種多肉植物每株成本4元,售價8元;乙種多肉植物每株成本6元,售價10元.若第一次購進多肉植物的金額為1400元,則甲種多肉植物購進多少株?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】李師傅下崗后,做起來小生意,第一次進貨,他以每件a元的價格購進了30件甲種小商品,以每件b元的價格購進了40件乙種小商品,且a<b.
(1)若李師傅將甲種商品提價40%,乙種商品提價30%全部出售,他獲利多少元?(用含有a,b的式子表示結(jié)果)
(2)若李師傅將兩種商品都以元的價格全部出售,他這次買賣是賺錢還是虧本,請說明理由?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠E=30°.
(1)操作發(fā)現(xiàn)
如圖2,固定△ABC,使△DEC繞點C旋轉(zhuǎn),當點D恰好落在AB邊上時,填空:
①線段DE與AC的位置關(guān)系是_________;
②設(shè)△BDC的面積為S1,△AEC的面積為S2,則S1與S2的數(shù)量關(guān)系是____________.
(2)猜想論證
當△DEC繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時,小明猜想(1)中S1與S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立,并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC、CE邊上的高,請你證明小明的猜想.
(3)拓展探究
已知∠ABC=60°,點D是其角平分線上一點,BD=CD=4,DE//AB交BC于點E(如圖4).若在射線BA上存在點F,使,請直接寫出相應(yīng)的BF的長.
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