Question

【題目】閱讀理解：

如圖1，在四邊形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合），分別連接ED，EC，可以把四邊形ABCD分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)；如果這三個三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的強(qiáng)相似點(diǎn)．解決問題：

（1）如圖1，∠A=∠B=∠DEC=55°，試判斷點(diǎn)E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)，并說明理由；

（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格（網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1）的格點(diǎn)（即每個小正方形的頂點(diǎn)）上，試在圖2中畫出矩形ABCD的邊AB上的一個強(qiáng)相似點(diǎn)E；

拓展探究：

（3）如圖3，將矩形ABCD沿CM折疊，使點(diǎn)D落在AB邊上的點(diǎn)E處．若點(diǎn)E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個強(qiáng)相似點(diǎn)，試探究AB和BC的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】解：（1）點(diǎn)E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)。理由如下：

∵∠A=55°，∴∠ADE+∠DEA=125°。

∵∠DEC=55°，∴∠BEC+∠DEA=125°。

∴∠ADE=∠BEC。

∵∠A=∠B，∴△ADE∽△BEC。

∴點(diǎn)E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點(diǎn)。

（2）作圖如下：

（3）∵點(diǎn)E是四邊形ABCM的邊AB上的一個強(qiáng)相似點(diǎn)，

∴△AEM∽△BCE∽△ECM。∴∠BCE=∠ECM=∠AEM。

由折疊可知：△ECM≌△DCM，∴∠ECM=∠DCM，CE=CD。

∴∠BCE=∠BCD=30°。∴BE=CE=AB。

在Rt△BCE中，，

∴，∴。

【解析】

試題（1）要證明點(diǎn)E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點(diǎn)，只要證明有一組三角形相似就行，很容易證明△ADE∽△BEC，所以問題得解。

（2）根據(jù)兩個直角三角形相似得到強(qiáng)相似點(diǎn)的兩種情況即可。

（3）因?yàn)辄c(diǎn)E是梯形ABCD的AB邊上的一個強(qiáng)相似點(diǎn)，所以就有相似三角形出現(xiàn)，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)線段成比例，可以判斷出AE和BE的數(shù)量關(guān)系，從而可求出解。