Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、，將沿軸翻折得到，已知拋物線過(guò)點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)．

（1）拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為_______；

（2）如圖2，沿軸向右以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度平移得到，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．當(dāng)時(shí)，求與重疊面積與的函數(shù)關(guān)系式；

（3）如圖3，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，線段與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)．在旋轉(zhuǎn)一圈過(guò)程中，是否存在點(diǎn)，使得？若存在，直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，試說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，（，）或（，）

【解析】

（1）由軸對(duì)稱可得點(diǎn)B、C坐標(biāo)，可求得拋物線解析式，進(jìn)而得到拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）根據(jù)題意構(gòu)造相似三角形，用t表示對(duì)于線段，再用割補(bǔ)法表示與重疊面積即可；

（3）由題意可知，點(diǎn)P為線段MN中點(diǎn)，由拋物線性質(zhì)，求得P點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出M（m，n）坐標(biāo)，再由三角形相似可得N點(diǎn)坐標(biāo)，用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可表示P點(diǎn)坐標(biāo)，構(gòu)造方程可求m，n，則問(wèn)題可解.

解：（1）由已知，點(diǎn)C坐標(biāo)為（-1,0）

把（-1,0），（0，-4）代入，得

解得，

∴

則對(duì)稱軸為直線

頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為：

∴ 頂點(diǎn)坐標(biāo)為

故答案為：

（2）連BG，設(shè)BD交GE于點(diǎn)K，BD交FG于 T，過(guò)K做HK⊥FG于H

由（1）可知，點(diǎn)D坐標(biāo)為（4,0）

則

由已知，，

∵GB∥OD

∴

則有，則，

得：

，

（3）（，）或（，）

如圖，當(dāng)M在第四象限時(shí)，根據(jù)題意可知：當(dāng)點(diǎn)是中點(diǎn)時(shí)，

∴MN=BC=

則，

P到x軸距離為：

可得：

分別過(guò)點(diǎn)M、N作MF⊥y軸于點(diǎn)F，NE⊥y軸于點(diǎn)E

0

∵

∴

∵

∴

∴設(shè)，則，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（， ）

∴

解得

∴M坐標(biāo)為（，）

當(dāng)點(diǎn)M在第三象限時(shí)，同理，設(shè)，則

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（， ）

同理點(diǎn)

∴

解得

∴M坐標(biāo)為（，）

故答案為（，）或（，）