【題目】如圖,一小球從斜坡O點(diǎn)處拋出,球的拋出路線可以用二次函數(shù)刻畫,斜坡可以用一次函數(shù)y=x刻畫.

(1)請用配方法求二次函數(shù)圖象的最高點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)小球的落點(diǎn)是A,求點(diǎn)A的坐標(biāo);
(3)連接拋物線的最高點(diǎn)P與點(diǎn)O、A得△POA,求△POA的面積
(4)在OA上方的拋物線上存在一點(diǎn)M(M與P不重合),△MOA的面積等于△POA的面積.請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)

【答案】
(1)

解:由題意得:=, 故二次函數(shù)圖象的最高點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,4);


(2)

解:聯(lián)立兩解析式可得:,解得:,或. 故可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(,);


(3)

解:如圖,作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q,AB⊥x軸于點(diǎn)B.

S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA=×2×4+×(+4)×(﹣2)﹣××=4+=;


(4)

解:過P作OA的平行線,交拋物線于點(diǎn)M,連結(jié)OM、AM,則△MOA的面積等于△POA的面積.

設(shè)直線PM的解析式為y=x+b, ∵P的坐標(biāo)為(2,4) ,∴4=×2+b,解得b=3, ∴直線PM的解析式為y=x+3.

,解得,或, ∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為().


【解析】(1)利用配方法拋物線的一般式化為頂點(diǎn)式,即可求出二次函數(shù)圖象的最高點(diǎn)P的坐標(biāo);(2)聯(lián)立兩解析式,可求出交點(diǎn)A的坐標(biāo);(3)作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q,AB⊥x軸于點(diǎn)B.根據(jù)S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA,代入數(shù)值計算即可求解;(4)過P作OA的平行線,交拋物線于點(diǎn)M,連結(jié)OM、AM,由于兩平行線之間的距離相等,根據(jù)同底等高的兩個三角形面積相等,可得△MOA的面積等于△POA的面積. 設(shè)直線PM的解析式為y=x+b,將P(2,4)代入,求出直線PM的解析式為y=x+3.再與拋物線的解析式聯(lián)立,得到方程組,解方程組即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo).

練習(xí)冊系列答案
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