Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+ 與直線AB交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（4， ），點(diǎn)D是拋物線A、B兩點(diǎn)間部分上的一個(gè)動點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），直線CD與y軸平行，交直線AB于點(diǎn)C，連接AD，BD．

（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，△ADB的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)S取最大值時(shí)的點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵由題意得 解得： ，

∴y=﹣ x2+2x+

（2）

解：設(shè)直線AB為：y=kx+b．則 ，解得

直線AB的解析式為y= x + ．

如圖所示：記CD與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為E．過點(diǎn)B作BF⊥DC，垂足為F．

設(shè)D（m，﹣ m2+2m+ ）則C（m， m+ ）．

∵CD=（﹣ m2+2m+ ）﹣（ m+ ）= m2+ m+2，

∴S= AEDC+ CDBF= CD（AE+BF）= DC= m2+ m+5．

∴S= m2+ m+5．

∵﹣ ＜0，

∴當(dāng)m= 時(shí)，S有最大值．

∴當(dāng)m= 時(shí)， m+ = × + = ．

∴點(diǎn)C（ ， ）

【解析】（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，求得a、b的值，從而得到拋物線的解析式；（2）設(shè)直線AB為：y=kx+b．將A、B的坐標(biāo)代入可得到k，b的方程組，從而可求得k，b于是得到直線AB的解析式，記CD與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為E．過點(diǎn)B作BF⊥DC，垂足為F．設(shè)D（m，﹣ m2+2m+ ）則C（m， m+ ），依據(jù)三角形的面積公式可得到S與m的函數(shù)關(guān)系式，接下來由拋物線的對稱軸方程，可求得m的值，于是可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．