Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF與BC交于點(diǎn)G．

（1）求證：AE=CF；
（2）若∠ABE=55°，求∠EGC的大小．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABC=90°，AB=BC，

∵BE⊥BF，

∴∠FBE=90°，

∵∠ABE+∠EBC=90°，∠CBF+∠EBC=90°，

∴∠ABE=∠CBF，

在△AEB和△CFB中，

∴△AEB≌△CFB（SAS），

∴AE=CF．

（2）解：∵BE⊥BF，

∴∠FBE=90°，

又∵BE=BF，

∴∠BEF=∠EFB=45°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABC=90°，

又∵∠ABE=55°，

∴∠EBG=90°﹣55°=35°，

∴∠EGC=∠EBG+∠BEF=45°+35°=80°．

【解析】（1）利用△AEB≌△CFB來(lái)求證AE=CF．（2）利用角的關(guān)系求出∠BEF和∠EBG，∠EGC=∠EBG+∠BEF求得結(jié)果．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等腰直角三角形和正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°；正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．