【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=ax2+bx﹣4(a≠0)的圖象與x軸交于A(﹣2,0)、C(8,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)B,其對稱軸與x軸交于點(diǎn)D.
(1)求該二次函數(shù)的解析式;
(2)如圖1,連結(jié)BC,在線段BC上是否存在點(diǎn)E,使得△CDE為等腰三角形?若存在,求出所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(3)如圖2,若點(diǎn)P(m,n)是該二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(其中m>0,n<0),連結(jié)PB,PD,BD,求△BDP面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】(1)y=x2﹣x﹣4;(2)(8﹣2,﹣)、(0,﹣4)、(,﹣);(3)(,﹣).
【解析】試題分析:(1)根據(jù)待定系數(shù)法,可得函數(shù)解析式;
(2)分類討論:當(dāng)CD=DE時(shí),當(dāng)EC=DE時(shí),當(dāng)CD=CE時(shí),根據(jù)等腰三角形的定義,可得關(guān)于m的方程,根據(jù)解方程,可得答案.
(3)根據(jù)題意得,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m, m2-m-4),根據(jù)梯形的面積公式和三角形的面積公式計(jì)算求出△BDP面積,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答.
試題解析:(1)∵二次函數(shù)y=ax2+bx-4(a≠0)的圖象與x軸交于A(-2,0)、C(8,0)兩點(diǎn),
∴,
解得,
∴該二次函數(shù)的解析式為y=x2-x-4;
(2)在線段BC上是存在點(diǎn)E,使得△CDE為等腰三角形,
由二次函數(shù)y=x2-x-4可知對稱軸x=3,
∴D(3,0).
∵C(8,0),
∴CD=5.
由二次函數(shù)y=x2-x-4可知B(0,-4).
設(shè)BC的解析式為y=kx+b,
將B、C點(diǎn)坐標(biāo)代入,得
,
解得,
BC的解析式為y=x-4.
E在線段BC上,設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為(m, m-4).
①當(dāng)CD=DE時(shí),即(m-3)2+(m-4)2=25,解得m1=0,m2=8(不符合題意舍去),
當(dāng)m=0時(shí), m-4=-4,
∴E1(0,-4);
②當(dāng)EC=DE時(shí),(m-8)2+(m-4)2=(m-3)2+(m-4)2,解得m3=,
當(dāng)m=時(shí), m-4=×-4=-,
∴E2(,-);
③當(dāng)CD=CE時(shí),(m-8)2+(m-4)2=25,解得m4=8+2,m5=8-2(不符合題意舍),
當(dāng)m=8+2時(shí), m-4=,即E3(8+2, );
綜上所述:所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為E1(0,-4); E2(,-);E3(8+2, ).
(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m, m2-m-4),
y=m2-m-4=(m-3)2-,
△BDP面積=×(4-m 2+m-4)×m-×3×4-×(m-3)×(-m2+m+4)
=-m2+m=-(m-)2+,
∴當(dāng)m=時(shí),△BDP面積的最大,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(, ).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法中不正確的是( )
A. 兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形
B. 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形
C. 有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形
D. 兩條對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形
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【題目】已知:如圖,四邊形ABCD是正方形,∠PAQ=45°,將∠PAQ繞著正方形的頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),使它與正方形ABCD的兩個(gè)外角∠EBC和∠FDC的平分線分別交于點(diǎn)M和N,連接MN.
(1)求證:△ABM∽△NDA;
(2)連接BD,當(dāng)∠BAM的度數(shù)為多少時(shí),四邊形BMND為矩形,并加以證明.
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【題目】已知M=9x2-4x+3,N=5x2+4x-2,則M與N的大小關(guān)系是( )
A. M>N B. M=N C. M<N D. 不能確定
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【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線x=1,且經(jīng)過點(diǎn)P(3,0),則拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為 .
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【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線AC分別交坐標(biāo)軸于A,C(8,0)兩點(diǎn),AB∥x軸,B(6,4).
(1)求過B,C兩點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+4的表達(dá)式;
(2)點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿線段CO向O點(diǎn)運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)以相同的速度沿線段AB向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng),其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí),另一個(gè)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.當(dāng)t為何值時(shí),四邊形BCPQ為平行四邊形;
(3)若點(diǎn)M為直線AC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),△AMC的面積最大?求出此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)和△AMC的最大面積.
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【題目】如圖,一農(nóng)戶要建一個(gè)矩形豬舍,豬舍的一邊利用長為12m的住房墻,另外三邊用25m長的建筑材料圍成,為方便進(jìn)出,在垂直于住房墻的一邊留一個(gè)1m寬的門,所圍矩形豬舍的長、寬分別為多少時(shí),豬舍面積為80m2?
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【題目】為了參加市中學(xué)生籃球運(yùn)動(dòng)后,某校籃球隊(duì)準(zhǔn)備購買10雙運(yùn)動(dòng)鞋,經(jīng)統(tǒng)計(jì)10雙運(yùn)動(dòng)鞋的號(hào)碼(cm)如表所示:
尺碼 | 25 | 25.5 | 26 | 26.5 | 27 |
購買量(雙) | 2 | 4 | 2 | 1 | 1 |
則這10雙運(yùn)動(dòng)鞋尺碼的眾數(shù)和中位數(shù)分別是( )
A.25.5cm 26cm
B.26cm 25.5cm
C.26cm 26cm
D.25.5cm 25.5cm
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【題目】在如圖所示的網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長都為1.
(1)試作出直角坐標(biāo)系,使點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,-1);
(2)在(1)中建立的直角坐標(biāo)系中描出點(diǎn)B(3,4),C(0,1),并求三角形ABC的面積.
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