【題目】正方形ABCD的邊長為6cm,點(diǎn)E、M分別是線段BD、AD上的動(dòng)點(diǎn),連接AE并延長,交邊BC于F,過M作MN⊥AF,垂足為H,交邊AB于點(diǎn)N.
(1)如圖1,若點(diǎn)M與點(diǎn)D重合,求證:AF=MN;

(2)如圖2,若點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā),以1cm/s的速度沿DA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā),以 cm/s的速度沿BD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s.

①設(shè)BF=y cm,求y關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式;
②當(dāng)BN=2AN時(shí),連接FN,求FN的長.

【答案】
(1)

解:∵四邊形ABCD 是正方形,

∴AD=AB,∠BAD=90°,

∵M(jìn)N⊥AF,

∴∠AHM=90°,

∴∠BAF+∠MAH=∠MAH+∠AMH=90°,

∴∠BAF=∠AMH,

在△AMN與△ABF中, ,

∴△AMN≌△ABF,

∴AF=MN


(2)

解:①∵AB=AD=6,

∴BD=6 ,

由題意得,DM=t,BE= t,

∴AM=6﹣t,DE=6 t,

∵AD∥BC,

∴△ADE∽△FBE,

,即 ,

∴y= ;

②∵BN=2AN,

∴AN=2,BN=4,

由(1)證得∠BAF=∠AMN,∵∠ABF=∠MAN=90°,

∴△ABF∽△AMN,

= ,即 =

∴BF=

由①求得BF= ,

= ,

∴t=2,

∴BF=3,

∴FN= =5


【解析】(1)根據(jù)四邊形的性質(zhì)得到AD=AB,∠BAD=90°,由垂直的定義得到∠AHM=90°,由余角的性質(zhì)得到∠BAF=∠AMH,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論;(2)①根據(jù)勾股定理得到BD=6 ,由題意得,DM=t,BE= t,求得AM=6﹣t,DE=6 t,根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論;②根據(jù)已知條件得到AN=2,BN=4,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BF= ,由①求得BF= ,得方程 = ,于是得到結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】掌握全等三角形的性質(zhì)和勾股定理的概念是解答本題的根本,需要知道全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等; 全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等;直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖,已知線段AB16 cm,點(diǎn)C為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)C不與A,B重合),點(diǎn)D,E分別是ACBC的中點(diǎn).

(1)DE的長;

(2)知識(shí)遷移:如圖,已知AOB130°,過角的內(nèi)部任一點(diǎn)C畫射線OC,若OD,OE分別平分AOCBOC,試說明DOE的大小與射線OC的位置無關(guān).

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【題目】如圖,A、D、F、B在同一直線上,AD=BF,AE=BC,且AE∥BC.

求證:(1)EF=CD;(2)EF∥CD.

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【題目】如圖①,已知ADBCB=D=120°

1)請問:ABCD平行嗎?為什么?

2)若點(diǎn)EF在線段CD上,且滿足AC平分∠BAE,AF平分∠DAE,如圖②,求∠FAC的度數(shù).

3)若點(diǎn)E在直線CD上,且滿足∠EAC=BAC,求∠ACDAED的值(請自己畫出正確圖形,并解答).

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【題目】已知兩個(gè)分別含有30°,45°角的一副直角三角板.

(1)如圖1疊放在一起

OC恰好平分∠AOB,∠AOD= ;

若∠AOC=40°,∠BOD= ;

(2)如圖2疊放在一起,∠AOD=4∠BOC,試計(jì)算∠AOC的度數(shù).

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【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(-3,3),B(-5,1),C(-2,0),P(a,b)是△ABC的邊AC上任意一點(diǎn),△ABC經(jīng)過平移后得到△A1B1C1,點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P1(a+6,b-2).

(1)直接寫出點(diǎn)C1的坐標(biāo);

(2)在圖中畫出△A1B1C1;

(3)求△AOA1的面積.

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【題目】某商店經(jīng)銷某種玩具,該玩具每個(gè)進(jìn)價(jià) 20 元,為進(jìn)行促銷,商店制定如下“優(yōu)惠” 方案:如果一次銷售數(shù)量不超過 5 個(gè),則每個(gè)按 50 元銷售:如果一次銷售數(shù)量超過 5 個(gè),則每增加一個(gè),所有玩具均降低 1 元銷售,但單價(jià)不得低于 30 元,一次銷售該玩具的單價(jià) y(元)與銷售數(shù)量 x(個(gè))之間的函數(shù)關(guān)系如下圖所示.

(1)結(jié)合圖形,求出 m 的值;射線 BC 所表示的實(shí)際意義是什么;

(2)求線段 AB 滿足的 y 與 x 之間的函數(shù)解析式,并直接寫出自變量的取值范圍;

(3)當(dāng)銷售 15 個(gè)時(shí),商店的利潤是多少元.

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【題目】直線AB、CD相交于點(diǎn)O,OE平分∠BOD.OF⊥CD,垂足為O,若∠EOF=54°.

(1)求∠AOC的度數(shù);

(2)作射線OG⊥OE,試求出∠AOG的度數(shù).

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