【題目】如圖所示,在平面直角坐標系中,過點A(﹣ ,0)的兩條直線分別交y軸于B、C兩點,∠ABO=30°,OB=3OC.
(1)試說明直線AC與直線AB垂直;
(2)若點D在直線AC上,且DB=DC,求點D的坐標;
(3)在(2)的條件下,直線BD上是否存在點P,使以A、B、P三點為頂點的三角形是等腰三角形?若存在,請直接寫出P點的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)
解:結(jié)論:AC⊥AB.理由如下:
∵A( ,0),
∴OA= ,
∵∠ABO=30°,tan∠ABO= = ,
∴BO=3,
∵OB=3OC,
∴OC=1,
∴tan∠ACO= = ,
∠ACO=60°,
∴∠BAC=90°,
∴AC⊥AB;
(2)
解:如圖1中,過D作DE⊥x軸于E,
∴∠DEA=∠AOC=90°,
∵tan∠ACO= = ,
∵∠DCB=60°
∵DB=DC,
∴△DBC是等邊三角形,
∵BA⊥DC,
∴DA=AC,
∵∠DAE=∠OAC,
在△ADE和△ACO中, ,
∴△ADE≌△ACO,
∴DE=OC=1,AE=OA=
∴OE=2 ,
∴D的坐標為(﹣2 ,1);
(3)
解:設(shè)直線BD的解析式為:y=mx+n,直線BD與x軸交于點E,
把B(0,3)和D(﹣2 ,1)代入y=mx+n,
∴ ,解得 ,
∴直線BD的解析式為:y= x+3,
令y=0代入y= x+3,
∴x=﹣3 ,
∴E(﹣3 ,0),
∴OE=3 ,
∴tan∠BEC= = = ,
∴∠BEO=30°,
同理可求得:∠ABO=30°,
∴∠ABE=30°,
當PA=AB時,如圖2,
此時,∠BEA=∠ABE=30°,
∴EA=AB,
∴P與E重合,
∴P的坐標為(﹣3 ,0),
當PA=PB時,如圖3,
此時,∠PAB=∠PBA=30°,
∵∠ABE=∠ABO=30°,
∴∠PAB=∠ABO,
∴PA∥BC,
∴∠PAO=90°,
∴點P的橫坐標為﹣ ,
令x=﹣ 代入y= x+3,
∴y=2,
∴P(﹣ ,2),
當PB=AB時,如圖4,
∴由勾股定理可求得:AB=2 ,EB=6,
若點P在y軸左側(cè)時,記此時點P為P1,
過點P1作P1F⊥x軸于點F,
∴P1B=AB=2 ,
∴EP1=6﹣2 ,
∴sin∠BEO= ,
∴FP1=3﹣ ,
令y=3﹣ 代入y= x+3,
∴x=﹣3,
∴P1(﹣3,3﹣ ),
若點P在y軸的右側(cè)時,記此時點P為P2,
過點P2作P2G⊥x軸于點G,
∴P2B=AB=2 ,
∴EP2=6+2 ,
∴sin∠BEO= ,
∴GP2=3+ ,
令y=3+ 代入y= x+3,
∴x=3,
∴P2(3,3+ ),
綜上所述,當A、B、P三點為頂點的三角形是等腰三角形時,點P的坐標為(﹣3 ,0),(﹣ ,2),(﹣3,3﹣ ),(3,3+ ).
【解析】(1)根據(jù)三角函數(shù)求出OB,即可求得OC,再由三角函數(shù)求得∠ACO,即可解決問題;(2)如圖1中,過D作DE⊥x軸于E.由△ADE≌△ACO,推出DE=OC=1,AE=OA= ,求出點D坐標;(3)A、B、P三點為頂點的三角形是等腰三角形,可分為以下三種情況:①AB=AP;②AB=BP;③AP=BP;然后分別求出P的坐標即可.
【考點精析】利用含30度角的直角三角形和勾股定理的概念對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知在直角三角形中,如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半;直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,有兩條公路OM、ON相交成30°角,沿公路OM方向離O點80米處有一所學(xué)校A.當重型運輸卡車P沿道路ON方向行駛時,在以P為圓心50米長為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)都會受到卡車噪聲的影響,且卡車P與學(xué)校A的距離越近噪聲影響越大.若已知重型運輸卡車P沿道路ON方向行駛的速度為18千米/時.
(1)求對學(xué)校A的噪聲影響最大時卡車P與學(xué)校A的距離;
(2)求卡車P沿道路ON方向行駛一次給學(xué)校A帶來噪聲影響的時間.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】問題情境
已知矩形的面積為S(S為常數(shù),S>0),當該矩形的長為多少時,它的周長最?最小值是多少?
數(shù)學(xué)模型
設(shè)該矩形的長為x,周長為y,則y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=2(x+ )(x>0)
探索研究
(1)我們可以借鑒學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗,先探索函數(shù)y=x+ (x>0)的圖象性質(zhì).
①列表:
x | … | 1 | 2 | 3 | 4 | … | |||
y | … | m | 2 | … |
表中m=;
②描點:如圖所示;
③連線:請在圖中畫出該函數(shù)的圖象;
④觀察圖象,寫出兩條函數(shù)的性質(zhì);
(2)解決問題
在求二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的最大(小)值時,除了通過觀察圖象,還可以通過配方得到.同樣通過配方也可以求函數(shù)y=x+ (x>0)的最小值.
y=x+ = + = + ﹣2 +2 = +2
∵ ≥0,∴y≥2
∴當 ﹣ =0,即x=1時,y最小值=2
請類比上面配方法,直接寫出“問題情境”中的問題答案.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將頂點為P(1,﹣2),且過原點的拋物線y的一部分沿x軸翻折并向右平移2個單位長度,得到拋物線y1 , 其頂點為P1 , 然后將拋物線y1沿x軸翻折并向右平移2個單位長度,得到拋物線y2 , 其頂點為P2;…,如此進行下去,直至得到拋物線y2016 , 則點P2016坐標為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為鼓勵學(xué)生參加體育鍛煉,學(xué)校計劃拿出不超過3200元的資金購買一批籃球和排球,已知籃球和排球的單價比為3:2,單價和為160元.
(1)籃球和排球的單價分別是多少元?
(2)若要求購買的籃球和排球的總數(shù)量是36個,且購買的排球數(shù)少于11個,有哪幾種購買方案?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】根據(jù)要求計算下列問題:
(1)計算(﹣ )﹣2﹣2cos45°+( )0+ +(﹣1)2017
(2)先化簡,再求值 ,其中a= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2015年榕城區(qū)從中隨機調(diào)查了5所初中九年級學(xué)生的數(shù)學(xué)考試成績,學(xué)生的考試成績情況如表(數(shù)學(xué)考試滿分120分)
分數(shù)段 | 頻數(shù) | 頻率 |
72分以下 | 368 | 0.2 |
72﹣﹣﹣﹣80分 | 460 | 0.25 |
81﹣﹣﹣﹣95分 | ||
96﹣﹣﹣﹣108分 | 184 | 0.2 |
109﹣﹣﹣﹣119分 | ||
120分 | 54 |
(1)這5所初中九年級學(xué)生的總?cè)藬?shù)有多少人?
(2)統(tǒng)計時,老師漏填了表中空白處的數(shù)據(jù),請你幫老師填上;
(3)從這5所初中九年級學(xué)生中隨機抽取一人,恰好是108分以上(不包括108分)的概率是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上,且OA=3,OC=2,將矩形OABC向上平移4個單位得到矩形O1A1B1C1 .
(1)若反比例函數(shù)y= 和y= 的圖象分別經(jīng)過點B、B1 , 求k1和k2的值;
(2)將矩形O1A1B1C1向左平移得到O2A2B2C2 , 當點O2、B2在反比例函數(shù)y= 的圖象上時,求平移的距離和k3的值.
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