Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，動點P從點A出發(fā)沿AB向點B移動，（點P與點A、B不重合），作PD∥BC交AC于點D，在DC上取點E，以DE、DP為鄰邊作平行四邊形PFED，使點F到PD的距離，連接BF，設(shè)AP=x．

（1）△ABC的面積等于　 　；

（2）設(shè)△PBF的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系，并求y的最大值．

（3）當(dāng)BP=BF時，求x的值．

Answer 1

【答案】（1）12；（2）當(dāng)x=時，y取得最大值，最大值為；（3）x=

【解析】

（1）根據(jù)題意，易得△ABC的高，再由三角形面積公式可得答案；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得PD、PM的值，進(jìn)而可得AN的值，再由圖示可得：y=S梯形PBCD-SPFED-S梯形PFCE；代入數(shù)據(jù)可得答案．
（3）過B作BT⊥AC于T交PF于K，由（2）得出的關(guān)系可知△AND∽△AGE，利用三角形面積，得到BT的值，繼而得到cos∠A的值，最后得到x的值．

（1）根據(jù)題意，作AQ⊥BC，交BC于點Q，

易得：BQ=3，由勾股定理，易得AQ=4；

則

（2）設(shè)AQ與PD交于點M，與EF交于點N；

PD∥BC，

∴△APD∽△ABC，

∴

且AP=x，AB=5，BC=6，

可得：

易得，則AN=AM+MN=AM+HF=x，

∴y=S梯形PBCD﹣SPFED﹣S梯形BFEC

故當(dāng)x=時，y取得最大值，最大值為．

（3）過B作BT⊥AC于T交PF于K，

∵PF∥AC，則BK⊥PF于K，由（2）知道

∴△AND∽△AGE，

∴

∴

∴

在△ABC中,∴

在Rt△ABT中,由勾股定理得,∴cos∠A

若BP=BF,則三線合一,

在Rt△BPK中cos∠BPK，

∴

解得