Question

已知直線MN是線段BC的垂直平分線，垂足為O，點P為射線OM上的一點，連接BP、PC．將線段PB繞點P逆時針
旋轉，得到線段PQ（PQ與PC不重合），旋轉角為α（0°＜α＜180°）直線CQ交MN與點D連接ED．
（1）如圖1，當α=30°，且點P與點O重合時，∠CDM的度數是

 

；
（2）如圖2，當α=120°，且點P與點O不重合時，∠CDM的度數是

 

；
（3）點P在射線OM上運動時，∠CDM的度數是

 

．（用含α的代數式表示）

Answer 1

考點：旋轉的性質

專題：

分析：（1）由中垂線的性質就可以得出BO=CO，由旋轉的性質可以出PQ=OB=PC，由三角形外角與內角的關系就可以得出∠C=15°，在△PDC中可以求出∠CDM的結論；
（2）由軸對稱的性質可以得出△PBD≌△PCD，就有∠PBD=∠PCD，∠PDB=∠PDC，就可以得出∠PQC+∠PQD=180°，得出∠PQD+∠PBD=180°，由四邊形的內角和就可以得出∠BPQ+∠BDC=180°，進而就可以得出∠CDM的值．
（3）由軸對稱的性質可以得出△PBD≌△PCD，就有∠PBD=∠PCD，∠PDB=∠PDC，就可以得出∠PQC+∠PQD=180°，得出∠PQD+∠PBD=180°，由四邊形的內角和就可以得出∠BPQ+∠BDC=180°，進而就可以得出∠CDM=

1

2

（180°-a）=90°-

1

2

a．

解答：解：（1）∵直線MN是線段BC的垂直平分線，
∴BO=CO，∠COD=90°．
∵段PB繞點P逆時針旋轉，得到線段PQ
∴PB=PC=PQ．
∴∠Q=∠C．
∵∠Q+∠C=∠BPQ=30°，
∴∠C=15°，
∴∠C+∠CDM=90°，
∴∠CDM=75°．
故答案為：75°

（2）如圖2，∵直線MN是線段BC的垂直平分線，
∴PB=PC，BD=CD．
∵段PB繞點P逆時針旋轉，得到線段PQ
∴PB=PC=PQ．
∴∠PQC=PCQ．
在△PBD和△PCD中

PB=PC BD=CD PD=PD

，
∴△PBD≌△PCD（SSS），
∴∠PBD=∠PCD，∠PDB=∠PDC，
∴∠PBD=∠PCD=∠PQC．
∵∠PQC+∠PQD=180°，
∴∠PQD+∠PBD=180°．
∵∠PBD+∠BDQ+∠DQP+∠BPQ=360°，
∴∠BPQ+∠BDC=180°．
∵∠BPQ=120°，
∴∠BDC=60°．
∵∠PDB=∠PDC，
∴∠PDC=30°．
即∠CDM=30°．
故答案為：30°；

（3）∵直線MN是線段BC的垂直平分線，
∴PB=PC，BD=CD．
∵段PB繞點P逆時針旋轉，得到線段PQ
∴PB=PC=PQ．
∴∠PQC=PCQ．
在△PBD和△PCD中

PB=PC BD=CD PD=PD

，
∴△PBD≌△PCD（SSS），
∴∠PBD=∠PCD，∠PDB=∠PDC，
∴∠PBD=∠PCD=∠PQC．
∵∠PQC+∠PQD=180°，
∴∠PQD+∠PBD=180°．
∵∠PBD+∠BDQ+∠DQP+∠BPQ=360°，
∴∠BPQ+∠BDC=180°．
∵∠BPQ=a，
∴∠BDC=180°-a．
∵∠PDB=∠PDC，
∴∠PDC=90°-

1

2

a．
即∠CDM=90°-

1

2

a．
故答案為：90°-

1

2

a．

點評：本題考查了旋轉的性質運用，中垂線的性質的運用，全等三角形的判定與性質的運用，四邊形內角和定理的運用，等腰三角形的性質的運用，解答時靈活運用旋轉的性質求解是關鍵．