【題目】如圖,已知拋物線y=﹣x2+2x經(jīng)過原點(diǎn)O,且與直線y=x﹣2交于B,C兩點(diǎn).

(1)求拋物線的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)及點(diǎn)B,C的坐標(biāo);
(2)求證:∠ABC=90°;
(3)在直線BC上方的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使△PBC的面積最大?若存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(4)若點(diǎn)N為x軸上的一個(gè)動點(diǎn),過點(diǎn)N作MN⊥x軸與拋物線交于點(diǎn)M,則是否存在以O(shè),M,N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?若存在,請求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

解:∵y=﹣x2+2x=﹣(x﹣1)2+1,

∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)A(1,1),

聯(lián)立拋物線與直線解析式可得 ,解得

∴B(2,0),C(﹣1,﹣3)


(2)

解:證明:

由(1)可知B(2,0),C(﹣1,﹣3),A(1,1),

∴AB2=(1﹣2)2+12=2,BC2=(﹣1﹣2)2+(﹣3)2=18,AC2=(﹣1﹣1)2+(﹣3﹣1)2=20,

∴AC2=AB2+BC2

∴△ABC是直角三角形,

∴∠ABC=90°


(3)

解:如圖,過點(diǎn)P作PG∥y軸,交直線BC于點(diǎn)G,

設(shè)P(t,﹣t2+2t),則G(t,t﹣2),

∵點(diǎn)P在直線BC上方,

∴PG=﹣t2+2t﹣(t﹣2)=﹣t2+t+2=﹣(t﹣ 2+

∴SPBC=SPGB+SPGC= PG[2﹣(﹣1)]= PG=﹣ (t﹣ 2+ ,

∵﹣ <0,

∴當(dāng)t= 時(shí),SPBC有最大值,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為( , ),

即存在滿足條件的點(diǎn)P,其坐標(biāo)為(


(4)

解:∵∠ABC=∠ONM=90°,

∴當(dāng)△OMN和△ABC相似時(shí),有 ,

設(shè)N(m,0),

∵M(jìn)N⊥x軸,

∴M(m,﹣m2+2m),

∴MN=|﹣m2+2m|,ON=|m|,

② 當(dāng) 時(shí),即 = ,解得m=5或m=﹣1或m=0(舍去);

②當(dāng) = 時(shí),即 = ,解得m= 或m= 或m=0(舍去);

綜上可知存在滿足條件的N點(diǎn),其坐標(biāo)為(5,0)或(﹣1,0)或( ,0)或( ,0)


【解析】(1)把拋物線解析式化為頂點(diǎn)式可求得A點(diǎn)坐標(biāo),聯(lián)立拋物線與直線的解析式可求得B、C的坐標(biāo);(2)由A、B、C的坐標(biāo)可求得AB2、BC2和AC2 , 由勾股定理的逆定理可判定△ABC是直角三角形;(3)過點(diǎn)P作PG∥y軸,交直線BC于點(diǎn)G,設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo),則可表示出G點(diǎn)坐標(biāo),從而可表示出PG的長,則可表示出△PBC的面積,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo);(4)設(shè)出M、N的坐標(biāo),則可表示出MN和ON的長度,由相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于N點(diǎn)坐標(biāo)的方程可求得N點(diǎn)坐標(biāo).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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【題目】已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ﹣4cosθ+3ρsin2θ=0,以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線l過點(diǎn)M(1,0),傾斜角為 . (Ⅰ)求曲線C的直角坐標(biāo)方程與直線l的參數(shù)方程;
(Ⅱ)若曲線C經(jīng)過伸縮變換 后得到曲線C′,且直線l與曲線C′交于A,B兩點(diǎn),求|MA|+|MB|.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則一次函數(shù)y=kx+b的大致圖象可能是( 。
A.
B.
C.
D.

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【題目】如圖,直線y=kx+b經(jīng)過點(diǎn)A(﹣5,0),B(﹣1,4).

(1)求直線AB的表達(dá)式;

(2)若直線y=﹣2x﹣4與直線AB相交于點(diǎn)C,求點(diǎn)C的坐標(biāo);

(3)根據(jù)圖象,寫出關(guān)于x的不等式kx+b>﹣2x﹣4的解集.

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【題目】已知直線l1∥l2∥l3 , 等腰直角△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C分別在l1 , l2 , l3上,若∠ACB=90°,l1 , l2的距離為1,l2 , l3的距離為3,求:
(1)線段AB的長;
(2) 的值.

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【題目】在一條筆直的公路的同側(cè)依次排列著A,C,B三個(gè)村莊,某天甲、乙兩車分別從A,B兩地出發(fā),沿這條公路勻速行駛至C地停止,從甲車出發(fā)至甲車到達(dá)C地的過程,甲、乙兩車各自與C地的距離y(km)與甲車行駛時(shí)間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.求:
(1)甲的速度是 , 乙的速度是
(2)分別求出甲、乙兩車各自與C地的距離y(km)與甲車行駛時(shí)間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出取值范圍;
(3)若甲、乙兩車到C地后繼續(xù)沿該公路原速度行駛,求甲車出發(fā)多少小時(shí),兩車相距350km.

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【題目】如圖,在△ABC中,中線BE,CD相交于點(diǎn)O,連接DE,下列結(jié)論: ① = ;② = ;③ ;④ =
其中正確的個(gè)數(shù)有(

A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)

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【題目】已知一個(gè)函數(shù)圖象經(jīng)過(1,﹣4),(2,﹣2)兩點(diǎn),在自變量x的某個(gè)取值范圍內(nèi),都有函數(shù)值y隨x的增大而減小,則符合上述條件的函數(shù)可能是(
A.正比例函數(shù)
B.一次函數(shù)
C.反比例函數(shù)
D.二次函數(shù)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖1,ABCD為正方形,直線MN分別過AD邊與BC邊的中點(diǎn),點(diǎn)P為直線MN上任意一點(diǎn),連接PB、PC分別與AD邊交于E、F兩點(diǎn),PC與BD交于點(diǎn)K,連接AK與PB交于點(diǎn)G.

(1)探索發(fā)現(xiàn)
當(dāng)點(diǎn)P落在AD邊上時(shí),如圖2,試探究PB與AK的位置關(guān)系以及PB、PK、AK三者的數(shù)量關(guān)系(直接寫出無需證明);
(2)延伸拓展
當(dāng)點(diǎn)P落在正方形外,如圖1,以上兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立?如果成立請給出證明,如果不成立請說明你的理由;
(3)應(yīng)用推廣
如圖3,在等腰Rt△ABD中,其中∠BAD=90°,腰長為3,M、N分別為AD邊與BD邊的中點(diǎn),K為線段DN中點(diǎn),F(xiàn)為AD邊上靠近于D的三等分點(diǎn).連接KF并延長與直線MN交于點(diǎn)P,連接PB分別與AD、AK交于點(diǎn)E、G.試求四邊形EFKG的周長及面積.

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