Question

【題目】如圖1，正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，E是AC上一點(diǎn)，連接EB，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BE，垂足為M，AM與BD相交于F.

（1）直接寫(xiě)出線(xiàn)段OE與OF的數(shù)量關(guān)系；

（2）如圖2，若點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BE ,AM交DB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，其他條件不變.問(wèn)（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，說(shuō)明理由；

（3）如圖3，當(dāng)BC=CE時(shí)，求∠EAF的度數(shù).

Answer 1

【答案】(1) OE=OF; (2) OE=OF仍然成立，理由見(jiàn)解析;(3)67.5°.

【解析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)利用ASA判定△AOF≌△BOE，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到OE=OF；

（2）類(lèi)比（1）的方法證得同理得出結(jié)論成立；

（3）由BC=CE， 可證AB=BF，從而∠F=∠FAB=∠ABD=22.5°，然后根據(jù)∠EAF=∠FAB+∠BAO計(jì)算即可.

（1）OE=OF;

（2）OE=OF仍然成立，理由是：

由正方形ABCD對(duì)角線(xiàn)垂直得，∠BOC=90°，

∵AM⊥BE ∴∠BMF=90°，

∴∠BOC=∠BMF.

∵∠MBF=∠OBE，

∴∠F=∠E，

又∵AO=BO，

∴△AOF≌△BOE，

∴OE=OF;

（3）由（2）得OE=OF，且OB=OC，則BF=CE，

∵BC=CE，

∴AB=BF，

∴∠F=∠FAB=∠ABD=22.5°，

又∵∠BAO=45°，

∴∠EAF=∠FAB+∠BAO=22.5°+45°=67.5°.