【題目】如圖,已知BD:OD=2:1,點(diǎn)C在射線OF上,OC=12.點(diǎn)M是∠EOF內(nèi)一點(diǎn),MC⊥OF于點(diǎn)C,MC=4.在射線CF上取一點(diǎn)A,連結(jié)AM并延長交射線OE于點(diǎn)B,作BD⊥OF于點(diǎn)D.
(1)當(dāng)AC的長度為多少時(shí),△AMC和△BOD相似;
(2)當(dāng)點(diǎn)M恰好是線段AB中點(diǎn)時(shí),試判斷△AOB的形狀,并說明理由;
(3)連結(jié)BC.當(dāng)S△AMC=S△BOC時(shí),求AC的長.
【答案】(1)2或8;(2)△ABO為直角三角形,理由見解析;(3)18
【解析】
(1)由于∠MCA=∠BDO=90°,所以△AMC和△BOD相似時(shí)分兩種情況:①△AMC∽△BOD;②△AMC∽△OBD.則兩種情況都可以根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等列出關(guān)于AC的方程,解方程即可求出AC的長度;
(2)先由MC∥BD,得出△AMC∽△ABD,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等及三角形中位線的性質(zhì)求出BD=2MC=8,OD=4,CD=8,AC=CD=8,再利用SAS證明△AMC≌△BOD,得到∠CAM=∠DBO,根據(jù)平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求出∠ABO=90°,進(jìn)而得出△ABO為直角三角形;
(3)設(shè)OD=a,根據(jù)tan∠EOF=2得出BD=2a,由三角形的面積公式求出S△AMC=2AC,S△BOC=12a,根據(jù)S△AMC=S△BOC,得到AC=6a.由△AMC∽△ABD,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等列出關(guān)于a的方程,解方程求出a的值,進(jìn)而得出AC的長.
解:(1)∵∠MCA=∠BDO=90°,
∴△AMC和△BOD中,C與D是對(duì)應(yīng)點(diǎn),
∴△AMC和△BOD相似時(shí)分兩種情況:
①當(dāng)△AMC∽△BOD時(shí),==2,
∵M(jìn)C=4,
∴=2,
解得AC=8;
②當(dāng)△AMC∽△OBD時(shí),==2,
∵M(jìn)C=4,
∴=2,
解得AC=2.
故當(dāng)AC的長度為2或8時(shí),△AMC和△BOD相似;
(2)△ABO為直角三角形.理由如下:
∵M(jìn)C∥BD,
∴△AMC∽△ABD,
∴==,∠AMC=∠ABD,
∵M(jìn)為AB中點(diǎn),
∴C為AD中點(diǎn),BD=2MC=8.
∵BD:OD=2:1,
∴OD=4,
∴CD=OC﹣OD=8,
∴AC=CD=8.
在△AMC與△BOD中,
,
∴△AMC≌△BOD(SAS),
∴∠CAM=∠DBO,
∴∠ABO=∠ABD+∠DBO=∠AMC+∠CAM=90°,
∴△ABO為直角三角形;
(3)連結(jié)BC,設(shè)OD=a,則BD=2a.
∵S△AMC=S△BOC,S△AMC=ACMC=2AC,S△BOC=OCBD=12a,
∴2AC=12a,
∴AC=6a.
∵△AMC∽△ABD,
∴=,即=,
解得a1=3,a2=﹣(舍去),
∴AC=6×3=18.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在Rt△ABC中,D為斜邊AB的中點(diǎn),∠B=60°,BC=2cm,動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)D出發(fā),沿折線D﹣C﹣B運(yùn)動(dòng),兩點(diǎn)的速度均為1cm/s,到達(dá)終點(diǎn)均停止運(yùn)動(dòng),設(shè)AE的長為x,△AEF的面積為y,則y與x的圖象大致為( 。
A. B.
C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx﹣3與直線y=x+3交于點(diǎn)A(m,0)和點(diǎn)B(2,n),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求m,n的值及拋物線的解析式;
(2)在圖1中,把△AOC平移,始終保持點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P在拋物線上,點(diǎn)C,O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為M,N,連接OP,若點(diǎn)M恰好在直線y=x+3上,求線段OP的長度;
(3)如圖2,在拋物線上是否存在點(diǎn)Q(不與點(diǎn)C重合),使△QAB和△ABC的面積相等?若存在,直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】活動(dòng)1:
在一只不透明的口袋中裝有標(biāo)號(hào)為1,2,3的3個(gè)小球,這些球除標(biāo)號(hào)外都相同,充分?jǐn)噭,甲、乙、丙三位同學(xué)按丙→甲→乙的順序依次從袋中各摸出一個(gè)球(不放回),摸到1號(hào)球勝出,請(qǐng)你通過畫樹狀圖或列表計(jì)算甲勝出的概率.(注:丙→甲→乙表示丙第一個(gè)摸球,甲第二個(gè)摸球,乙最后一個(gè)摸球)
活動(dòng)2:
在一只不透明的口袋中裝有標(biāo)號(hào)為1,2,3,4的4個(gè)小球,這些球除標(biāo)號(hào)外都相同,充分?jǐn)噭,?qǐng)你對(duì)甲、乙、丙三名同學(xué)規(guī)定一個(gè)摸球順序: → → ,他們按這個(gè)順序從袋中各摸出一個(gè)球(不放回),摸到1號(hào)球勝出,通過畫樹狀圖或列表求每位同學(xué)勝出的概率分別是多少.
猜想:
在一只不透明的口袋中裝有標(biāo)號(hào)為1,2,3,…,(為正整數(shù))的個(gè)小球,這些球除標(biāo)號(hào)外都相同,充分?jǐn)噭颍、乙、丙三名同學(xué)按任意順序從袋中各摸出一個(gè)球(不放回),摸到1號(hào)球勝出,猜想:直接寫出這三名同學(xué)每人勝出的概率之間的大小關(guān)系.
由此你能得到什么活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?(寫出一個(gè)即可)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在矩形ABCD中,BC=10cm、DC=6cm,點(diǎn)E、F分別為邊AB、BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),E從點(diǎn)A出發(fā)以每秒5cm的速度向B運(yùn)動(dòng),F從點(diǎn)B出發(fā)以每秒3cm的速度向C運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.若∠AFD=∠AED,則t的值_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一次函數(shù)(a,b為常數(shù),且)與反比例函數(shù)(m為常數(shù),且)的圖象交于點(diǎn)A(﹣2,1)、B(1,n).
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)連結(jié)OA、OB,求△AOB的面積;
(3)直接寫出當(dāng)時(shí),自變量x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=﹣(x﹣m)2+4(m>0)的頂點(diǎn)為A,與直線x=相交于點(diǎn)B,點(diǎn)A關(guān)于直線x=的對(duì)稱點(diǎn)為C.
(1)若拋物線y=﹣(x﹣m)2+4(m>0)經(jīng)過原點(diǎn),求m的值.
(2)點(diǎn)C的坐標(biāo)為 .用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)B到直線AC的距離為 .
(3)將y=﹣(x﹣m)2+4(m>0,且x≥)的函數(shù)圖象記為圖象G,圖象G關(guān)于直線x=的對(duì)稱圖象記為圖象H.圖象G與圖象H組合成的圖象記為圖象M.
①當(dāng)圖象M與x軸恰好有三個(gè)交點(diǎn)時(shí),求m的值.
②當(dāng)△ABC為等腰直角三角形時(shí),直接寫出圖象M所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值小于0時(shí),自變量x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角中,,的垂直平分線交于點(diǎn),交于點(diǎn),交于點(diǎn),連接、.
(1)求證:;
(2)求證:四邊形是菱形.
(3)當(dāng)滿足什么條件時(shí),四邊形是正方形,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC是等邊三角形,以AB為直徑作⊙O,交BC邊于點(diǎn)D,交AC邊于點(diǎn)F,作DE⊥AC于點(diǎn)E.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)若△ABC的邊長為4,求EF的長度.
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