Question

【題目】我們知道“對稱補缺”的思想是解決與軸對稱圖形有關(guān)的問題的一種重要的添加輔助線的策略，參考這種思想解決下列問題.

在△ABC中，D為△ABC外一點.

(1)如圖1，若AC平分∠BAD,CE⊥AB于點E，∠ B+∠ADC=180,求證：BC=CD;

(2)如圖2，若∠ACB=90°, AC=BC，F是AC上一點，AD⊥BF交BF延長線于點D，且BF是∠CBA的角平分線.求證：2AD=BF.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)見解析.

【解析】

（1）在AB上取點G，使AG=AD，證明△ADC≌△AGC得DC=GC ，∠CDA=∠CGA, 可證∠B=∠CGE得到CB = CG，從而得到結(jié)論；

（2）分別延長AD、BC交于點H，證明△ADB≌△BDH，得∠DAB=∠DHB,AB=BH ，所以△ABH為等腰三角形，證得2AD=AH，再證明BF= AH即可得證.

(1) 證明：在AB上取點G，使AG=AD

∵AC平分∠BAD

∠DAC=∠GAC,

在△ADC與△AGC中

AD＝BD，

∠DAC=∠GAC,

AC=AC(公共邊)

△ADC≌△AGC (SAS)

DC=GC

∠CDA=∠CGA,

又∵∠ B+∠ADC=180,∠ CGE+∠AGC=180,

∠ B =∠ CGE

CB = CG

又∵DC=GC

CB=DC

(2) 證明：分別延長AD、BC交于點H，

∵BD平分∠CBA

∠DBC=∠ABD,

∵AD⊥BF交BF延長線于點D

∠ADB=∠HDB=90°,

在△ADB與△BDH 中

∠ADB=∠HDB

BD=BD

∠DBC=∠ABD,

△ADB≌△BDH

∠DAB=∠DHB,AB=BH

△ABH為等腰三角形

又∵BD平分∠CBA

AD=DH，即2AD=AH

∵∠ACB=90°, AC=BC，

∠B=∠CAB=45°,

∠DAB=(180° - ∠B )=90°-22.5°=67.5,

∠HAC=22.5°=∠CBD

在△ACH與△BCF 中

∠HAC=∠DBC

AC=CB

∠ACH=∠BDA

△ACH≌△BCF

BF= AH

又∵2AD=AH，

2AD=BF