【題目】已知,拋物線y=ax2+3ax+c(a>0)與y軸交于點C,與x軸交于A,B兩點,點A在點B左側(cè).點B的坐標(biāo)為(1,0),OC=3OB.
(1)直接寫出C點的坐標(biāo);
(2)求拋物線的解析式;
(3)若點D是線段AC下方拋物線上的動點,求四邊形ABCD面積的最大值.
【答案】(1) (0,﹣3);(2) y=x2+x﹣3;(3) 四邊形ABCD面積的最大值為13.5.
【解析】
(1)由點B的坐標(biāo)為(1,0),OC=3OB,且點C在y軸的負半軸上可求出點C的坐標(biāo);
(2)已知了B點坐標(biāo),易求得OB、OC的長,進而可將B、C的坐標(biāo)代入拋物線中,求出待定系數(shù)的值,即可得出拋物線的解析式.
(3)根據(jù)A、C的坐標(biāo),易求得直線AC的解析式.由于AB、OC都是定值,則△ABC的面積不變,若四邊形ABCD面積最大,則△ADC的面積最大;可過D作x軸的垂線,交AC于M,x軸于N;易得△ADC的面積是DM與OA積的一半,可設(shè)出N點的坐標(biāo),分別代入直線AC和拋物線的解析式中,即可求出DM的長,進而可得出四邊形ABCD的面積與N點橫坐標(biāo)間的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出四邊形ABCD的最大面積.
(1)∵點B的坐標(biāo)為(1,0),OC=3OB,
∴OB=1,OC=3,
∴點C的坐標(biāo)為(0,﹣3).
(2)將B(1,0)、C(0,﹣3)代入y=ax2+3ax+c,得:
,解得:,
∴拋物線的解析式為y=x2+x﹣3.
(3)過點D作直線DE∥y軸,交AC于點E,交x軸于點F,過點C作CG⊥DE于點G,如圖所示.
當(dāng)y=0時,有x2+x﹣3=0,
解得:x1=﹣4,x2=1,
∴點A的坐標(biāo)為(﹣4,0),
∴AB=5.
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b(k≠0),
將A(﹣4,0)、C(0,﹣3)代入y=kx+b,得:
,解得:,
∴直線AC的解析式為y=﹣x﹣3.
設(shè)點D的坐標(biāo)為(t,x2+x﹣3),則點E的坐標(biāo)為(t,﹣ t﹣3),
∴ED=﹣t﹣3﹣(x2+x﹣3)=﹣t2﹣3t,
∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△AED+S△CED,
=ABOC+EDAF+EDCG,
=ABOC+EDAO,
=×5×3+×4(﹣t2﹣3t),
=﹣t2﹣6t+=﹣(t+2)2+.
∵﹣<0,
∴當(dāng)t=﹣2時,四邊形ABCD的面積取最大值,最大值為.
答:四邊形ABCD面積的最大值為.
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AD=BC,∠B=∠D,AD不平行于BC,過點C作CE∥AD交△ABC的外接圓O于點E,連接AE.
(1)求證:四邊形AECD為平行四邊形;
(2)連接CO,求證:CO平分∠BCE.
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【題目】如圖,平行四邊形ABCD中,A(-1,0)、B(0,-2),頂點C、D在雙曲線(x>0)上,邊AD交y軸于點E,若點E恰好是AD的中點,則k=_____.
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【題目】如圖,是一塊四邊形綠地的示意圖,其中AB長為24米,BC長15米,CD長為20米,DA長7米,∠C=90°,求綠地ABCD的面積.
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【題目】如圖,等邊△ABC的邊長為12, D為AB邊上一動點,過點D作DE⊥BC于點E.過點E作EF⊥AC于點F.
(1)若AD=2,求AF的長;
(2)當(dāng)AD取何值時,DE=EF?
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【題目】甲乙兩地相距72千米,李磊騎自行車往返兩地一共用了7小時,已知他去時的平均速度比返回時的平均速度快,求李磊去時的平均速度是多少?
小蕓同學(xué)解法如下:
解:設(shè)李磊去時的平均速度是x千米/時,則返回時的平均速度是(1-)x千米/時,由題意得:+=7,…
你認為小蕓同學(xué)的解法正確嗎?若正確,請寫出該方程所依據(jù)的等量關(guān)系,并完成剩下的步驟;若不正確,請說明原因,并完整地求解問題.
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【題目】如圖,學(xué)校的實驗樓對面是一幢教學(xué)樓,小敏在實驗樓的窗口C處測得教學(xué)樓頂部D處的仰角為18°,教學(xué)樓底部B處的俯角為20°,教學(xué)樓的高BD=21m,求實驗樓與教學(xué)樓之間的距離AB(結(jié)果保留整數(shù)).(參考數(shù)據(jù):tan18°≈0.32,tan20°≈0.36)
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【題目】如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形,設(shè)直角三角形較長直角邊長為,較短直角邊長為,若,大正方形的面積為13,則小正方形的面積為________.
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