Question

如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長(zhǎng)BD到點(diǎn)C，使DC=BD，連接AC交⊙O于點(diǎn)F．
（1）AB與AC的大小有什么關(guān)系？為什么？
（2）按角的大小分類，請(qǐng)你判斷△ABC屬于哪一類三角形，并說(shuō)明理由．

小明按下面的方法作出了∠MON的平分線：
①反向延長(zhǎng)射線OM；
②以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作圓，分別交∠MON的兩邊于點(diǎn)A、B，交射線OM的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)C；
③連接CB；
④以O(shè)為頂點(diǎn)，OA為一邊作∠AOP=∠OCB．
（1）根據(jù)上述作圖，射線OP是∠MON的平分線嗎？并說(shuō)明理由．
（2）若過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線交射線OP于點(diǎn)F，連接AB交OP于點(diǎn)E，當(dāng)∠MON=60°、OF=10時(shí)，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）連接AD．
∵AB是⊙O的直徑，
∴AD⊥BC，
∵BD=CD，
∴AB=AC；

（2）連接AD．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°．
∴∠B＜∠ADB=90°
∠C＜∠ADB=90°
∴∠B、∠C為銳角，
∵AC和⊙O交于點(diǎn)F，連接BF，
∴∠A＜∠BFC=90°
∴△ABC為銳角三角形；

①∵∠AOF=∠OCB
又∵∠BOA=2∠OCB
∴∠AOF=∠BOF
∴OP為∠BOA的角平分線

②∵∠MON=60°
∴△AOB為正三角形
∵OP平分∠MON
∴AE=BE=

1

2

AB
∵OP平分∠BOD
∴∠BOF=30°
又∵AF與⊙O相切
∴AF⊥AO
∵AO=5

3

∴AB=AO=5

3

∴AE=

5 3

2

．