【題目】如圖,四邊形ABCD是邊長為2,一個銳角等于60°的菱形紙片,小芳同學(xué)將一個三角形紙片的一個頂點與該菱形頂點D重合,按順時針方向旋轉(zhuǎn)三角形紙片,使它的兩邊分別交CB、BA(或它們的延長線)于點E、F,∠EDF=60°,當(dāng)CE=AF時,如圖1小芳同學(xué)得出的結(jié)論是DE=DF.
(1)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角形紙片,當(dāng)CE≠AF時,如圖2小芳的結(jié)論是否成立?若成立,加以證明;若不成立,請說明理由;
(2)再次旋轉(zhuǎn)三角形紙片,當(dāng)點E、F分別在CB、BA的延長線上時,如圖3請直接寫出DE與DF的數(shù)量關(guān)系;
(3)連EF,若△DEF的面積為y,CE=x,求y與x的關(guān)系式,并指出當(dāng)x為何值時,y有最小值,最小值是多少?
【答案】(1)成立,證明見解析;(2)DF=DE.(3)當(dāng)x=0時,y最小值=.
【解析】
試題分析:(1)如圖1,連接BD.根據(jù)題干條件首先證明∠ADF=∠BDE,然后證明△ADF≌△BDE(ASA),得DF=DE;
(2)如圖2,連接BD.根據(jù)題干條件首先證明∠ADF=∠BDE,然后證明△ADF≌△BDE(ASA),得DF=DE;
(3)根據(jù)(2)中的△ADF≌△BDE得到:S△ADF=S△BDE,AF=BE.所以△DEF的面積轉(zhuǎn)化為:y=S△BEF+S△ABD.據(jù)此列出y關(guān)于x的二次函數(shù),通過求二次函數(shù)的最值來求y的最小值.
試題解析:(1)DF=DE.理由如下:
如圖1,連接BD.
∵四邊形ABCD是菱形,
∴AD=AB.
又∵∠A=60°,
∴△ABD是等邊三角形,
∴AD=BD,∠ADB=60°,
∴∠DBE=∠A=60°
∵∠EDF=60°,
∴∠ADF=∠BDE.∵在△ADF與△BDE中,
,
∴△ADF≌△BDE(ASA),
∴DF=DE;
(2)DF=DE.理由如下:
如圖2,連接BD.
∵四邊形ABCD是菱形,
∴AD=AB.
又∵∠A=60°,
∴△ABD是等邊三角形,
∴AD=BD,∠ADB=60°,
∴∠DBE=∠A=60°
∵∠EDF=60°,
∴∠ADF=∠BDE.
∵在△ADF與△BDE中,
,
∴△ADF≌△BDE(ASA),
∴DF=DE;
(3)由(2)知,△ADF≌△BDE.則S△ADF=S△BDE,AF=BE=x.
依題意得:y=S△BEF+S△ABD=(2+x)xsin60°+×2×2sin60°=(x+1)2+.
即y=(x+1)2+.
∵>0,
∴該拋物線的開口方向向上,
∴當(dāng)x=0即點E、B重合時,y最小值=.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點,的坐標(biāo)分別為,,現(xiàn)同時將點,分別向上平移個單位,再向右平移個單位,分別得到點,的對應(yīng)點,,連接,,.(三角形可用符號表示,面積用符號表示)
(1)直接寫出點,的坐標(biāo).
(2)在軸上是否存在點,連接,,使,若存在,請求出點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
(3)點在直線上運動,連接,.
①若在線段之間時(不與,重合),求的取值范圍;
②若在直線上運動,請直接寫出,,的數(shù)量關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一座拱橋的截面輪廓為拋物線型(如圖1),拱高6米,跨度20米,相鄰兩支柱間的距離均為5米.
(1)將拋物線放在所給的直角坐標(biāo)系中(如圖2所示),其表達式是的形式. 請根據(jù)所給的數(shù)據(jù)求出的值.
(2)求支柱MN的長度.
(3)拱橋下地平面是雙向行車道(正中間DE是一條寬2米的隔離帶),其中的一條行車道能否并排行駛寬2米、高3米的三輛汽車(汽車間的間隔忽略不計)?請說說你的理由.
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【題目】如圖,邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°到正方形AB′C′D′,則圖中陰影部分的面積為( )
A. B. C. D.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是中線,E是AD的中點,過點A作AF∥BC交BE的延長線于F,連接CF.
(1)求證:AD=AF;
(2)如果AB=AC,試判斷四邊形ADCF的形狀,并證明你的結(jié)論.
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【題目】如圖1,分別沿矩形紙片ABCD和正方形EFGH紙片的對角線AC,EG剪開,拼成如圖2所示的平行四邊形KLMN,若中間空白部分恰好是正方形OPQR.
(1)若AB=m,BC=n,用含m、n的代數(shù)式表示正方形EFGH的邊長;
(2)若正方形EFGH的面積為25,求平行四邊形KLMN的面積;
(3)平行四邊形KLMN是否能為菱形?請說明理由.
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【題目】周末,小李8時騎自行車從家里出發(fā),到野外郊游,16時回到家里.他離家的距離s(千米)與時間t(時)之間的函數(shù)關(guān)系可以用圖中的折線表示.現(xiàn)有如下信息:
(1)小李到達離家最遠的地方的時間是14時;
(2)小李第一次休息時間是10時;
(3)11時到12時,小李騎了5千米;
(4)返回時,小李的平均車速是10千米/時.
其中,正確的信息有___________________(填番號).
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【題目】為了解學(xué)生對各種球類運動的喜愛程度,小明采取隨機抽樣的方法對他所在學(xué)校的部分學(xué)生進行問卷調(diào)查(每個被調(diào)查的學(xué)生必須選擇而且只能選擇其中一種項目),對調(diào)查結(jié)果進行統(tǒng)計后,繪制了下面的統(tǒng)計圖(1)和圖(2).
(1)此次被調(diào)查的學(xué)生共有___人,m=_____;
(2)求喜歡“乒乓球”的學(xué)生的人數(shù),并將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)若該校有2000名學(xué)生,估計全校喜歡“足球”的學(xué)生大約有多少人?
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