Question

【題目】問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，在等腰直角三角形中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，將射線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)交于點(diǎn)，則與的數(shù)量關(guān)系為____；

問(wèn)題探究：（2）如圖2，在等腰三角形中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，將射線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)交于點(diǎn)，則與的數(shù)量關(guān)系是否改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；

問(wèn)題解決：（3）如圖3，點(diǎn)為正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，將射線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)交直線于點(diǎn)，若，當(dāng)面積為時(shí)，直接寫出線段的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）OM=ON；（2）不改變；證明見(jiàn)解析；（3）線段BN的長(zhǎng)為或

【解析】

（1）連接，OC，證明△AOM≌△CON（ASA）可得結(jié)論．

（2）數(shù)量關(guān)系不變．如圖2中，過(guò)點(diǎn)O作OK⊥AC于K，OJ⊥BC于J，連接OC．證明△OKM≌△OJN（AAS）可得結(jié)論．

（3）如圖3中，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥AB于G，PH⊥BC于H．證明△MOC≌△NOB（SAS），推出CM=BN，設(shè)CM=BN=m，根據(jù)S△PMN==S△PBM+S△BMN-S△PBN，構(gòu)建方程求解即可．當(dāng)點(diǎn)M在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，同法可求．

解：（1）如圖1中，結(jié)論：OM=ON．

理由：連接OC．

∵CA=CB，∠ACB=90°，AO=OB，
∴CO=OA=OB，OC⊥AB，∠A=∠B=45°，∠BCO=∠ACO=45°
∴∠AOC=∠MON=90°，
∴∠AOM=∠CON，
∵∠A=∠CON，
∴△AOM≌△CON（ASA），
∴OM=ON．
故答案為：OM=ON．

（2）理由：如圖2中，過(guò)點(diǎn)O作OK⊥AC于K，OJ⊥BC于J，連接OC．

∵∠ACB=120°，∠OKC=∠OJC=90°，
∴∠KOJ=60°=∠MON，
∴∠MKO=∠NOJ，
∵CA=CB，OA=OB，
∴OC平分∠ACB，
∵OK⊥CA，OJ⊥CB，
∴OK=OJ，
∵∠OKM=∠OJN=90°，
∴△OKM≌△OJN（AAS），
∴OM=ON．

（3）如圖3中，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥AB于G，PH⊥BC于H．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD=4，∠BAD=90°，
∴BD=AB=4，
∴OD=OB=2，PD=OP=，
∴PB=3，
∵四邊形PGBH是正方形，
∴PG=PH=3，
∵∠MON=∠COB=90°，
∴∠MOC=∠NOB，
∵OM=ON，OC=OB，
∴△MOC≌△NOB（SAS），
∴CM=BN，設(shè)CM=BN=m，
∵S△PMN==S△PBM+S△BMN-S△PBN，
∴（4+m）3+m（4+m）m3=，
∴整理得：m2+4m-13=0，
解得m=或（舍去），
∴BN=．
當(dāng)點(diǎn)M在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，同法可得BN=．
綜上所述，滿足條件的BN的值為或．