【題目】已知,在以O(shè)為原點的直角坐標(biāo)系中,拋物線的頂點為A (﹣1,﹣4),且經(jīng)過點B(﹣2,﹣3),與x軸分別交于C、D兩點.
(1)求直線OB以及該拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達式;
(2)如圖1,點M是拋物線上的一個動點,且在直線OB的下方,過點M作x軸的平行線與直線OB交于點N,求MN的最大值;
(3)如圖2,過點A的直線交x軸于點E,且AE∥y軸,點P是拋物線上A、D之間的一個動點,直線PC、PD與AE分別交于F、G兩點.當(dāng)點P運動時,EF+EG是否為定值?若是,試求出該定值;若不是,請說明理由.
【答案】(1)直線OB解析式為y=x,拋物線為y=x2+2x﹣3;(2);(3)點P運動時,EF+EG為定值8.
【解析】
試題分析:(1)由B點坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求直線OB解析式,利用頂點式可求得拋物線解析式;
(2)設(shè)M(t,t2+2t﹣3),MN=s,則可表示出N點坐標(biāo),由MN的縱坐標(biāo)相等可得到關(guān)于s和t的關(guān)系式,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值;
(3)設(shè)P(t,t2+2t﹣3),則可表示出PQ、CQ、DQ,再利用相似三角形的性質(zhì)可用t分別表示出EF和EG的長,則可求得其定值.
試題解析:(1)設(shè)直線OB解析式為y=kx,由題意可得﹣3=﹣2k,解得k=,
∴直線OB解析式為y=x,
∵拋物線頂點坐標(biāo)為(﹣1,﹣4),
∴可設(shè)拋物線解析式為y=a(x+1)2﹣4,
∵拋物線經(jīng)過B(﹣2,﹣3),
∴﹣3=a﹣4,解得a=1,
∴拋物線為y=x2+2x﹣3;
(2)設(shè)M(t,t2+2t﹣3),MN=s,則N的橫坐標(biāo)為t﹣s,縱坐標(biāo)為,
∵MN∥x軸,
∴t2+2t﹣3=,得s==,
∴當(dāng)t=時,MN有最大值,最大值為;
(3)EF+EG=8.理由如下:
如圖2,過點P作PQ∥y軸交x軸于Q,
在y=x2+2x﹣3中,令y=0可得0=x2+2x﹣3,解得x=﹣3或x=1,
∴C(﹣3,0),D(1,0),
設(shè)P(t,t2+2t﹣3),則PQ=﹣t2﹣2t+3,CQ=t+3,DQ=1﹣t,
∵PQ∥EF,
∴△CEF∽△CQP,
∴,
∴EF=PQ=(﹣t2﹣2t+3),
同理△EGD∽△QPD得,
∴EG=PQ=,
∴EF+EG=(﹣t2﹣2t+3)+=2(﹣t2﹣2t+3)()=2(﹣t2﹣2t+3)()=2(﹣t2﹣2t+3)()=8,
∴當(dāng)點P運動時,EF+EG為定值8.
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【題目】如圖,是拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)圖象的一部分.已知拋物線的對稱軸為x=2,與x軸的一個交點是(﹣1,0).有下列結(jié)論:
①abc>0;②4a﹣2b+c<0;③4a+b=0;④拋物線與x軸的另一個交點是(5,0);⑤點(﹣3,y1),(6,y2)都在拋物線上,則有y1<y2.
其中正確的是( )
A.①②③ B.②④⑤ C.①③④ D.③④⑤
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【題目】在圖(1)中編號①②③④的四個三角形中,關(guān)于y軸對稱的兩個三角形的編號為______;關(guān)于x軸對稱的兩個三角形的編號為______.在圖(2)中,畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的圖形△A1B1C1,并分別寫出點A1,B1,C1的坐標(biāo).
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【題目】已知a、b互為相反數(shù),c、d互為倒數(shù),|m|=5,求代數(shù)式2m﹣(a+b﹣1)+3cd的值.
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【題目】下列因式分解正確的是( )
A. x2-y2=(x-y)2 B. -a+a2=-a(1-a)
C. 4x2-4x+1=4x(x-1)+1 D. a2-4b2=(a+4b)(a -4b)
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【題目】近幾年來,國家對購買新能源汽車實行補助政策,2016年某省對新能源汽車中的“插電式混合動力汽車”(用D表示)實行每輛3萬元的補助,小劉對該省2016年上半年“純電動乘用車”(有三種類型分別用A、B、C表示)和“插電式混合動力汽車”的銷售計劃進行了研究,繪制出如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
(1)補全條形統(tǒng)計圖;
(2)求出“D”所在扇形的圓心角的度數(shù);
(3)為進一步落實該政策,該省計劃再補助4.5千萬元用于推廣上述兩大類產(chǎn)品,請你預(yù)測,該省16年計劃大約共銷售“插電式混合動力汽車”多少輛?
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【題目】一元二次方程(x+6)2﹣9=0的解是( )
A.x1=6,x2=﹣6
B.x1=x2=﹣6
C.x1=﹣3,x2=﹣9
D.x1=3,x2=﹣9
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