【題目】如圖,正方形ABCD中,∠EAF=45°,連接對角線BD交AE于M,交AF于N,若DN=1,BM=2,那么MN=_____.證明:DN2+BM2=MN2.
【答案】
【解析】解:如圖,延長CB到G,使BG=DF,連接AG,在AG截取AH=AN,連接MH、BH.∵四邊形ABCD為正方形,∴AB=BC=CD=AD,∠BDC=∠ABD=45°,∠BAD=∠ADF=∠ABE=∠ABG=90°.在△ABG和△ADF中,,∴△ABG≌△ADF(SAS),∴∠BAG=∠DAF,∠AFD=∠G,AF=AG,∴∠GAE=∠BAG+∠BAE=∠DAF+∠BAE=∠BAD﹣∠EAF=90°﹣45°=45°=∠EAF.在△AMN和△AMH中,,∴△AMN≌△AMH(SAS),∴MN=MH.∵AF=AG,AN=AH,∴FN=AF﹣AN=AG﹣AH=GH.在△DFN和△BGH中,,∴△DFN≌△BGH(SAS),∴∠GBH=∠NDF=45°,DN=BH,∴∠MBH=∠ABH+∠ABD=∠ABG﹣∠GBH+∠ABD=90°﹣45°+45°=90°,∴BM2+DN2=BM2+BH2=MH2=MN2.
當(dāng)DN=1,BM=2時,12+22=MN2,∴MN=.∵MN>0,∴MN=.
故答案為:.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)A(﹣1,0),B(,0),且與y軸相交于點(diǎn)C.
(1)求這條拋物線的表達(dá)式;
(2)求∠ACB的度數(shù);
(3)設(shè)點(diǎn)D是所求拋物線第一象限上一點(diǎn),且在對稱軸的右側(cè),點(diǎn)E在線段AC上,且DE⊥AC,當(dāng)△DCE與△AOC相似時,求點(diǎn)D的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的三個頂點(diǎn)的位置如圖所示,點(diǎn)A′的坐標(biāo)是(﹣2,2),現(xiàn)將△ABC平移,使點(diǎn)A變換為點(diǎn)A′,點(diǎn)B′、C′分別是B、C的對應(yīng)點(diǎn).
(1)請畫出平移后的△A′B′C′(不寫畫法);
(2)并直接寫出點(diǎn)B′、C′的坐標(biāo):B′( )、C′( );
(3)若△ABC內(nèi)部一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,b),則點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)是( ).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(12分)菱形ABCD中,兩條對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,∠MON+∠BCD=180°,∠MON繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn),射線OM交邊BC于點(diǎn)E,射線ON交邊DC于點(diǎn)F,連接EF.
(1)如圖1,當(dāng)∠ABC=90°時,△OEF的形狀是 ;
(2)如圖2,當(dāng)∠ABC=60°時,請判斷△OEF的形狀,并說明理由;
(3)在(1)的條件下,將∠MON的頂點(diǎn)移到AO的中點(diǎn)O′處,∠MO′N繞點(diǎn)O′旋轉(zhuǎn),仍滿足∠MO′N+∠BCD=180°,射線O′M交直線BC于點(diǎn)E,射線O′N交直線CD于點(diǎn)F,當(dāng)BC=4,且時,直接寫出線段CE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,等邊△ABC的邊長為2cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以1cm/s的速度沿AC向點(diǎn)C運(yùn)動,到達(dá)點(diǎn)C停止;同時點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā),以2cm/s的速度沿AB﹣BC向點(diǎn)C運(yùn)動,到達(dá)點(diǎn)C停止,設(shè)△APQ的面積為y(cm2),運(yùn)動時間為x(s),則下列最能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是( 。
A. B.
C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校計劃把一塊近似于直角三角形的廢地開發(fā)為生物園,如圖所示,∠ACB=90°,BC=60米,∠A=36°.
(1)若入口處E在AB邊上,且與A、B等距離,求CE的長(精確到個位);
(2)若D點(diǎn)在AB邊上,計劃沿線段CD修一條水渠.已知水渠的造價為50元/米,水渠路線應(yīng)如何設(shè)計才能使造價最低,求出最低造價.
(其中sin36°=0.5878,cos36°=0.8090,tan36°=0.7265)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,拋物線y=ax2+ax+b(a≠0)與直線y=2x+m有一個公共點(diǎn)M(1,0),且a<b.
(1)求b與a的關(guān)系式和拋物線的頂點(diǎn)D坐標(biāo)(用a的代數(shù)式表示);
(2)直線與拋物線的另外一個交點(diǎn)記為N,求△DMN的面積與a的關(guān)系式;
(3)a=﹣1時,直線y=﹣2x與拋物線在第二象限交于點(diǎn)G,點(diǎn)G、H關(guān)于原點(diǎn)對稱,現(xiàn)將線段GH沿y軸向上平移t個單位(t>0),若線段GH與拋物線有兩個不同的公共點(diǎn),試求t的取值范圍.
【答案】(1)b=﹣2a,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(﹣,﹣);(2);(3) 2≤t<.
【解析】試題分析:(1)把M點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可得到b與a的關(guān)系,可用a表示出拋物線解析式,化為頂點(diǎn)式可求得其頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)把點(diǎn)代入直線解析式可先求得m的值,聯(lián)立直線與拋物線解析式,消去y,可得到關(guān)于x的一元二次方程,可求得另一交點(diǎn)N的坐標(biāo),根據(jù)a<b,判斷a<0,確定D、M、N的位置,畫圖1,根據(jù)面積和可得的面積即可;
(3)先根據(jù)a的值確定拋物線的解析式,畫出圖2,先聯(lián)立方程組可求得當(dāng)GH與拋物線只有一個公共點(diǎn)時,t的值,再確定當(dāng)線段一個端點(diǎn)在拋物線上時,t的值,可得:線段GH與拋物線有兩個不同的公共點(diǎn)時t的取值范圍.
試題解析:(1)∵拋物線有一個公共點(diǎn)M(1,0),
∴a+a+b=0,即b=2a,
∴拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為
(2)∵直線y=2x+m經(jīng)過點(diǎn)M(1,0),
∴0=2×1+m,解得m=2,
∴y=2x2,
則
得
∴(x1)(ax+2a2)=0,
解得x=1或
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為
∵a<b,即a<2a,
∴a<0,
如圖1,設(shè)拋物線對稱軸交直線于點(diǎn)E,
∵拋物線對稱軸為
設(shè)△DMN的面積為S,
(3)當(dāng)a=1時,
拋物線的解析式為:
有
解得:
∴G(1,2),
∵點(diǎn)G、H關(guān)于原點(diǎn)對稱,
∴H(1,2),
設(shè)直線GH平移后的解析式為:y=2x+t,
x2x+2=2x+t,
x2x2+t=0,
△=14(t2)=0,
當(dāng)點(diǎn)H平移后落在拋物線上時,坐標(biāo)為(1,0),
把(1,0)代入y=2x+t,
t=2,
∴當(dāng)線段GH與拋物線有兩個不同的公共點(diǎn),t的取值范圍是
【題型】解答題
【結(jié)束】
24
【題目】在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D是直線BC上的一點(diǎn)(不與B,C重合),以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,連接CE,設(shè)∠BAC=α,∠BCE=β.
(1)如圖①,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上,如果α=60°,β=120°;
如圖②,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上,如果α=90°,β=90°
如圖③,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上,如果α,β之間有什么樣的關(guān)系?請直接寫出.
(2)如圖④,當(dāng)點(diǎn)D在射線BC上,(1)中結(jié)論是否成立?請說明理由.
(3)如圖⑤,當(dāng)點(diǎn)D在射線CB上,且在線段BC外,(1)中結(jié)論是否成立?若不成立,請直接寫出你認(rèn)為正確的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在矩形紙片ABCD中,AB=3cm,AD=5cm,折疊紙片使B點(diǎn)落在邊AD上的E處,折痕為PQ,過點(diǎn)E作EF∥AB交PQ于F,連接BF.
(1)求證:四邊形BFEP為菱形;
(2)當(dāng)點(diǎn)E在AD邊上移動時,折痕的端點(diǎn)P、Q也隨之移動;
①當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(如圖2),求菱形BFEP的邊長;
②若限定P、Q分別在邊BA、BC上移動,求出點(diǎn)E在邊AD上移動的最大距離.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正五邊形的邊長為2,連接對角線AD、BE、CE,線段AD分別與BE和CE相交于點(diǎn)M、N,給出下列結(jié)論:①∠AME=108°,②AN2=AMAD;③MN=3-;④S△EBC=2-1,其中正確的結(jié)論是_________(把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都填上).
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