Question

已知如圖，矩形OABC的長OA=2，寬OC=2，將△AOC沿AC翻折得△AFC．
（1）求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（2）求過A、F、C三點(diǎn)的拋物線解析式；
（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得△ACP為以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）過F作FG⊥y軸于G．
在Rt△OCA中，∵∠AOC=90°，OA=2，OC=2，
∴tan∠OCA==，
∴∠OCA=60°．
∵將△AOC沿AC翻折得△AFC，
∴CF=OC=2，∠ACF=∠OCA=60°，
∴∠FCG=180°-∠ACF-∠OCA=60°，
∴在Rt△CFG中，∠CFG=30°，
∴CG=CF=1，GF==，
∴F（，-3）；

（2）由題知，A（2，0）、C（0，-2）、F（，-3），
令拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
把點(diǎn)A、C、F的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，
得，
解得，
∴過A、F、C三點(diǎn)的拋物線解析式為y=x²-x-2；                                      8′

（3）在拋物線上存在一點(diǎn)P，能夠使得△ACP為以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形．理由如下：
如圖，過點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)P．
在Rt△OCA中，∠1=90°-∠OCA=30°，
∵∠PAC=90°，
∴∠2=90°-∠1=60°．
在Rt△PAH中，tan∠2==，
∴PH=AH．
設(shè)P（m，m²-m-2）（m＜0），
∴m²-m-2=（-m+2），
解之，m=-2，
∴在拋物線上存在一點(diǎn)P（-2，12），能夠使得△ACP為以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形．
分析：（1）過F作FG⊥y軸于G，先在Rt△OCA中，根據(jù)正切函數(shù)的定義得出tan∠OCA==，則∠OCA=60°，再由軸對稱的性質(zhì)得出CF=OC=2，∠ACF=∠OCA=60°，則∠FCG=60°，然后解Rt△CFG，求出CG=1，GF=，進(jìn)而得到點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（2）把點(diǎn)A、C、F的坐標(biāo)代入所設(shè)的拋物線解析式y(tǒng)=ax²+bx+c，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求解；                                      8′
（3）根據(jù)拋物線的形狀可知，如果△ACP為以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形時，P點(diǎn)只能在第二象限，畫出圖形．過點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)P，先由∠1=90°-∠OCA=30°，∠PAC=90°，得出∠2=60°，
然后在Rt△PAH中，根據(jù)tan∠2==，得出PH=AH，設(shè)P（m，m²-m-2）（m＜0），得到關(guān)于m的方程，解方程求出m=-2，進(jìn)而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，12）．
點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點(diǎn)有運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，三角函數(shù)的定義，特殊角的三角函數(shù)值，軸對稱的性質(zhì)，解直角三角形，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．