Question

19．如圖1，在△OMN中，∠MON=90°，OM=6cm，∠OMN=30°．等邊△ABC的頂點B與點O重合，BC在OM上，點A恰好在MN上．

（1）求等邊△ABC的邊長；
（2）如圖2，將等邊△ABC沿OM方向以1cm/s的速度平移，邊AB、AC分別與MN交于點E、F，在△ABC平移的同時，點P從△ABC的頂點B出發(fā)，以2cm/s的速度沿折線B→A→C運動，當點P達到點C時，點P停止運動，△ABC也隨之停止平移．設△ABC平移時間為t（s）
①用含t的代數式表示AE的長，并寫出t的取值范圍；
②在點P沿折線B→A→C運動的過程中，是否在某一時刻，點P、E、F組成的三角形為等腰三角形？若存在，求出此時t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據，∠OMN=30°和△ABC為等邊三角形，求證△OAM為直角三角形，然后即可得出答案．
（2）①由直角三角形的性質得出ON=2$\sqrt{3}$，MN=4$\sqrt{3}$．證明△OMN∽△BEM，得出對應邊成比例，得出BE，即可得出AE的長，容易得出t的取值范圍；
②△PEF為等腰三角形，分情況討論，求出t的值，如果在0＜t＜3這個范圍內就存在，否則就不存在．

解答 解：（1）∵△ABC為等邊三角形，
∴∠AOC=60°，
又∵∠OMN=30°
∴∠OAM=90°，OA⊥MN，
即△OAM為直角三角形，
∴OA=$\frac{1}{2}$OM=3cm，
即等邊△ABC的邊長為3cm．
（2）①∵BM=6-t，OM=6cm，∠OMN=30°，
∴ON=2$\sqrt{3}$，MN=4$\sqrt{3}$．
∵∠M=∠M，∠N=∠MBE=60°，
∴△OMN∽△BEM，
∴$\frac{BM}{MN}=\frac{BE}{ON}$，
即$\frac{6-t}{4\sqrt{3}}=\frac{BE}{2\sqrt{3}}$，
∴BE=$\frac{6-t}{2}$，
∴AE=AB-BE=$\frac{t}{2}$（0≤t≤3）；
②存在；理由如下：
分4種情況：
（a）當點P在線段AB上時，點P在AB上運動的時間0≤t≤$\frac{3}{2}$，
∵△PEF為等腰三角形，∠PEF=90°
∴PE=EF，
∵∠A=60°，∠AFE=30°，
∴EF=$\sqrt{3}$AE=$\sqrt{3}$（3-BE）=$\sqrt{3}$（3-$\frac{6-t}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
∴$\frac{6-5t}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t或$\frac{5t-6}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
解得t=$\frac{15-3\sqrt{3}}{11}$或$\frac{15+3\sqrt{3}}{11}$＞$\frac{3}{2}$（故舍去），
（b）當點P在AF上時，
若PE=PF時，點P為EF的垂直平分線與AC的交點，
此時P為直角三角形PEF斜邊AF的中點，
∴PF=AP=2t-3，
∵點P從△ABC的頂點B出發(fā)，以2cm/s的速度沿折線B→A→C運動，
∴0＜t＜3，在直角三角形中，cos30°=$\frac{\frac{EF}{2}}{PF}$=$\frac{\sqrt{3}t}{8t-12}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得：t=2，
若FE=FP，
AF=$\frac{EF}{cos∠AFE}$=$\frac{EF}{cos30°}$=t，
則t-（2t-3）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
解得：t=12-6$\sqrt{3}$；
（c）當PE=EF，P在AE上時無解，
（d）當P點在CF上時，AP=2t-3，AF=t，則PF=AP-AF=t-3=EF，所以t-3=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
解得 t=12+6$\sqrt{3}$＞3，不合題意，舍去．
綜上，存在t值為$\frac{15-3\sqrt{3}}{11}$或12-6$\sqrt{3}$或2時，△PEF為等腰三角形．

點評 此題是三角形綜合題目，考查了含30度角的直角三角形的性質，三角形的面積，相似三角形的判定與性質，勾股定理，三角函數等知識點，綜合性強，難度較大，尤其是動點問題，給此題增加了一定的難度，因此此題屬于難題．