Question

【題目】（探究）如圖1，在等邊△ABC中，AB＝4，點(diǎn)D、E分別為邊BC、AB上的點(diǎn)，連結(jié)AD、DE，若∠ADE＝60°，BD＝3，求BE的長(zhǎng)．

（拓展）如圖2，在△ABD中，AB＝4，點(diǎn)E為邊AB上的點(diǎn)，連結(jié)DE，若∠ADE＝∠ABD＝45°，若DB＝3，＝　 ．

Answer 1

【答案】【探究】BE＝；【拓展】

【解析】

探究：過點(diǎn)A作AF⊥BC于F，由等邊三角形的性質(zhì)得出BF=CF=BC=2，由勾股定理求出AF=，則DF=BD-BF=1，由勾股定理求出AD=，證得△ABD∽△ADE，得出，解得AE=，即可得出結(jié)果；

拓展：過點(diǎn)A作AF⊥BC于F，易證△ABF是等腰直角三角形，則AF=BF=AB=2，DF=DB-BF=，由勾股定理求出AD=，證得△ADE∽△ABD，得出，求出AE=，BD=AB-AE=，則即可得出結(jié)果．

探究：∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B=∠C=60°，AB=BC=4，

過點(diǎn)A作AF⊥BC于F，如圖①所示：

則BF=CF=BC=2，AF=，

∴DF=BD-BF=3-2=1，

∴AD=，

根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得，∠ADB+∠BAD=120°，

∵∠ADE=60°，

∴∠BAD+∠AED=120°，

∴∠ADB=∠AED，

∵∠B=∠ADE=60°，

∴△ABD∽△ADE，

∴，

即：，

解得：AE=，

∴BE=AB-AE=4-=；

拓展：過點(diǎn)A作AF⊥BC于F，如圖②所示：

∵∠ABD=45°，

∴△ABF是等腰直角三角形，

∴AF=BF=AB=2，

∴DF=DB-BF=3-2=，

∴AD=，

∵∠ADE=∠ABD=45°，∠A=∠A，

∴△ADE∽△ABD，

∴，

∴AE=，

∴BD=AB-AE=4-=，

∴．