Question

【題目】探究題
如圖1，等邊△ABC中，BC=4，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，點(diǎn)P關(guān)于直線AB、AC的對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn)M、N，連接MN．

（1）【發(fā)現(xiàn)】
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，線段MN的長(zhǎng)是 ．
當(dāng)AP的長(zhǎng)最小時(shí)，線段MN的長(zhǎng)是；
（2）【探究】
如圖2，設(shè)PB=x，MN2=y，連接PM、PN，分別交AB，AC于點(diǎn)D，E．
用含x的代數(shù)式表示PM= ， PN=；
（3）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出y的取值范圍；
（4）當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上的什么位置時(shí)，線段MN=3 （直接寫出答案）
（5）【拓展】
如圖3，求線段MN的中點(diǎn)K經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)．

（6）【應(yīng)用】
如圖4，在等腰△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，BC=2，點(diǎn)P、Q、R分別為邊BC、AB、AC上（均不與端點(diǎn)重合）的動(dòng)點(diǎn)，則△PQR周長(zhǎng)的最小值是 ．
（可能用到的數(shù)值：sin75°= ，cos75°= ，tan75°=2+ ）

Answer 1

【答案】
（1）4 ；6
（2）
x；
（4﹣x）
（3）

解：

如圖2，分別過(guò)點(diǎn)M，N作直線BC的垂線MF，NG，垂足分別是F，G，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥NG垂足為H．

∵在Rt△PMF中，∠MPF=30°，PM= x，

∴MF= x，PF= x，

同理，在Rt△PNG中，∠NPG=30°，PN= （4﹣x），

∴NG= （4﹣x），PG= （4﹣x），

∵四邊形MFGH是矩形，則有

NH=NG﹣HG=NG﹣MF= （4﹣x）﹣ x= （2﹣x），

MH=FG=PF+PG= x+ （4﹣x）=6，

∴在Rt△MNH中，由勾股定理得，

MN2=NH2+MH2=3（x﹣2）2+36，

則y=3（x﹣2）2+36，

∵0≤x≤4，且當(dāng)x=2時(shí)，y最小值=36；當(dāng)x=0或4時(shí)，y最大值=48，

∴36≤y≤48

（4）

解：∵M(jìn)N=3 ，MN2=63，

∴當(dāng)y=63時(shí)，即3（x﹣2）2+36=63，

∴x=5或1，

∴當(dāng)點(diǎn)P在B點(diǎn)右側(cè)距離為5，或者在點(diǎn)P在B點(diǎn)左側(cè)距離為1的位置處，均有線段MN=3

（5）

解：如圖3，分別過(guò)點(diǎn)M，N作直線BC的垂線MF，NG，垂足分別是F，G，連接MG，過(guò)MN的中點(diǎn)K，作KT⊥BC于點(diǎn)T，交MG于點(diǎn)S．

∵M(jìn)F∥KT∥NG，且點(diǎn)K為MN的中點(diǎn)，

∴KS是△MNG的中位線，

ST是△GMF的中位線，

（6）2+
【解析】解：【發(fā)現(xiàn)】當(dāng)AP的長(zhǎng)最小時(shí)，AP⊥BC，即點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)時(shí)，
此時(shí)E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，
∴PE= AC，PF= AB，EF= BC，
∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=6；
當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)B重合時(shí)，
此時(shí)G（H）為AB（AC）的中點(diǎn)，
∴CG=2 BH=2 ，
BN=4 ；
所以答案是：4 ，6；
【探究】PM=2PD=2× PB= x，PN=2PE=2× PC=2× （4﹣x）= （4﹣x）；
所以答案是： x， （4﹣x）；
【拓展】
由【探究】中的過(guò)程可知，若設(shè)PB=x，則有PC=4﹣x，MF= x，NG= （4﹣x），
由三角形中位線性質(zhì)可得，ST= MF= x，KS= NG= （4﹣x），
∴KT=ST+KS= x+ （4﹣x）= ，
因此，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，MN的中點(diǎn) K到BC邊距離始終等于定值 ，且為
等邊△ABC高的一半，所以MN的中點(diǎn)K經(jīng)過(guò)的路線恰為等邊△ABC的中位線，其路線長(zhǎng)為2．
【應(yīng)用】過(guò)BC的中點(diǎn)P作AB，AC的對(duì)稱點(diǎn)M，N，連接MN交AB與Q，交AC于R，

則此時(shí)△PQR周長(zhǎng)最小，
∵∠BAC=30°，
∴∠B=∠C=75°，∠MPN=150°，
∴∠M=∠N=15°，
∴∠MQB=∠PQB=∠B=75°，
∴MN∥BC，PQ=PB=1，
同理PR=PC=1，
∵AP⊥BC，
∴AP⊥MN．
∵∠PQR=180°﹣75°﹣75°=30°，
∴QR=2× PQ= ，
∴△PQR周長(zhǎng)的最小值是2+ ．
所以答案是：2+ ．